Mathematisches Institut der Universität Basel Vorlesung Infinitesimalrechnung I (WS 99/00)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 1

Abgabetermin: 29. Oktober 1999

1. Welche der folgenden Abbildungen sind injektiv?

\sqrt{·} : ℝ^{+} → ℝ^{+}
cos : ℝ → ℝ
f : ℝ → ℝ mit f(x) = x^{2} + x
f : ℕ → ℕ mit f(x) = x^{2} + x

2. Welche Mengen natürlicher Zahlen werden durch folgende Formeln beschrieben?

A = {n ∈ ℕ : ∃m ∈ ℕ : m^{2} = n}
B = {n ∈ ℕ : ∃m ∈ ℕ : n = 2m + 1}
C = ℕ \ {n ∈ ℕ : ∃m, p ∈ ℕ : (1 < m < n) ∧ (mp = n)}

3. Welche der folgenden Gleichungen gelten für beliebige Mengen A,B,C?

A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ C
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

4. Seien f : A → B und g : B → C Abbildungen. Man nehme an, dass g ∘ f bijektiv ist. Folgt daraus, daß f oder g surjektiv oder injektiv ist?

5. Sei f : X → Y eine Abbildung, A_{j} eine durch j ∈ J indizierte Familie von Teilmengen von X. Zeige:

f (∩_{j∈J}A_{j}) ⊂ ∩_{j∈J}f(A_{j})
f (∪_{j∈J}A_{j}) ⊂ ∪_{j∈J}f(A_{j})

Für welche der beiden Fällen ist eine echte Inklusion möglich?