Mathematisches Institut der Universität Basel Vorlesung Infinitesimalrechnung I (WS 99/00)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 10

Abgabetermin: 14. Januar 2000

1. Sei f : [a, b] → [c, d] eine stetige bijektive Abbildung.

Zeige: f ist streng monoton (steigend oder fallend).

2. Gibt es a) eine bijektive, b) eine stetige bijektive Abbildung von [0, 1] nach [0, 1[ ?

3. Zeige: sinh : ℝ → ℝ ist bijektiv.

4. Jede stetige Funktion f : [a, b] → [a, b] hat einen Fixpunkt (d.h. ∃c ∈ [a, b] : f(c) = c).

5. tan ist definiert durch tan(x) = sin(x)/ cos(x) für cos(x) ≠ 0.

Zeige: Wenn cos(x), cos(y), cos(x + y) ≠ 0, dann

tan(x + y) = \frac{tan x + tan y}{1 − tan x tan y}

(∗) 6. Sei f : ℝ → ℝ eine Funktion, die im Nullpunkt stetig ist. Sei ferner f(0) = 1 und f(x + y) ≤ f(x)f(y) für alle x, y ∈ ℝ. Zeige: f ist auf ganz ℝ stetig.