Mathematisches Institut der Universität Basel Vorlesung Infinitesimalrechnung I (WS 99/00)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 11

Abgabetermin: 20. Januar 2000

1. Skizzieren Sie zeichnerisch folgende Teilmengen von ℂ:

A ={z ∈ ℂ : 0 < ℜ(iz) < 2}
B ={z ∈ ℂ : |z − (1 + i)| = 1}
C ={z ∈ ℂ : |z| = ℜ(z) + 1}
D ={z ∈ ℂ : |z − 2| + |z + 2| < 5}
E = \{z ∈ ℂ : |\frac{z − i}{z + i}| = 1\}

2. Leiten Sie Formeln her, die sin(nx) für n = 3, 5 als Polynom in sin(x) ausdrücken.

3. (a) Zeigen Sie: Für alle a, b ∈ ℂ gibts es ein z ∈ ℂ sodass z^{2} +az +b = 0.

(b) Zeigen Sie: cos : ℂ → ℂ ist surjektiv.

4. Bestimme die exakten Werte von sin(t) und cos(t) für t = \frac{π}{3} , \frac{π}{4} , \frac{π}{5} , \frac{π}{6} mit Hilfe der Additionstheoreme.

5. Zeige : lim_{n→∞} n sin \frac{x}{n} = x für alle x ∈ ℂ.

(∗) 6. Sei n eine natürliche Zahl. Betrachte das in den Einheitskreis eingeschriebene gleichmässige n-Eck, d.h. das Polygon, dessen Ecken gerade die n-ten Einheitswurzeln sind. Leite eine Formel für den Umfang U_{n} her und zeige lim_{n→∞} U_{n} = 2π.