Mathematisches Institut der Universität Basel Vorlesung Infinitesimalrechnung I (WS 99/00)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 12

Abgabetermin: 27. Januar 2000

1. Zeigen Sie: lim_{x↘0} x^{x} = 1 und lim_{n→+∞} \sqrt[n]{n} = 1.

2. Zeigen Sie: Jedes reelle Polynom ungerader Ordnung hat eine Nullstelle.

3. Weisen Sie nach, daß tan :] − \frac{π}{2} , \frac{π}{2} [→ ℝ bijektiv ist und bestimmen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion arctan.

4. Berechnen Sie die Ableitungen folgender Funktionen: x^{(x^{x})}, sinh, \frac{1}{1+x^{2}} und log(2 + cos x).

5. Sei s > 1, s ∈ ℝ. Zeigen Sie, dass die Reihe ζ(s) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}} konvergiert. Hinweis: Zeige zuerst

∑_{n=1}^{2^{m}} |n^{−s}| ≤ 1 + ∑_{k=0}^{m−1} 2^{k} (2^{k})^{−s}

Bemerkung: Die Funktion ζ(s) heisst Riemannsche Zetafunktion.

(∗) 6. Sei

f(x) = \begin{cases}x(1 + 2x sin(\frac{1}{x})) & falls x ≠ 0 \\ 0 & falls x = 0 \end{cases}

Zeige, dass f in 0 differenzierbar ist mit f′(0) > 0, dass andererseits aber kein ϵ > 0 existiert, für dass f eingeschränkt auf [−ϵ, +ϵ] monoton steigend ist.