Mathematisches Institut der Universität Basel Vorlesung Infinitesimalrechnung I (WS 99/00)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 13

Abgabetermin: 4. Februar 2000

1. Sei f : ℝ → ℝ eine konvexe Funktion. Zeigen Sie: f ist stetig.

2. Eine Funktion f : ℝ → ℝ heißt “gerade” falls f(x) = f(−x)∀x und “ungerade” falls f(−x) = −f(x)∀x.

(a) Zeigen Sie: Die Ableitung einer geraden Funktion ist ungerade.

(b) Ein Polynom P (x) = ∑_{k=0}^{n} a_{k}x^{k} ist genau dann gerade wenn a_{k} = 0 für alle ungeraden k.

3. Die “Legendre-Polynome” sind wie folgt definiert:

P_{n}(x) = \frac{1}{n!(2^{n})} \frac{d^{n}}{dx^{n}} [(x^{2} − 1)^{n}]

Zeige Sie, dass für jedes n ∈ ℕ das Legendre-Polynom P_{n} genau n paarweise verschiedene Nullstellen im Intervall ] − 1, 1[ besitzt.

4. Berechne

lim_{x→0} (\frac{e^{x} − 1 − xe^{\frac{x}{2}}}{x^{3}} ) , lim_{x→0} \frac{1 − cos \frac{x}{2}}{1 − cos x} und lim_{x→∞} \frac{log x}{x^{\sqrt{3}}}

5. Sei n ∈ ℕ und f eine n-mal differenzierbare Funktion auf ℝ. Beweise folgende “Leibnitzregel” für höhere Ableitungen (wobei f^{(k)} die k-te Ableitung von f bezeichnet mit f^{(0)} = f):

(f(x)g(x))^{(n)} = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}f^{(n−k)}(x)g^{(k)}(x)

(∗) 6. Sei f : ℝ → ℝ gegeben durch

f(x) = \begin{cases}e^{− \frac{1}{|x|^{2}}} & falls x > 0 \\ 0 & falls x ≤ 0 \end{cases}

Zeigen Sie, dass f unendlich oft differenzierbar ist.