Mathematisches Institut der Universität Basel Vorlesung Infinitesimalrechnung I (WS 99/00)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 14

Abgabetermin: 11. Februar 2000

1. Berechne ∫_{0}^{1} e^{x} dx via Approximation durch Treppenfunktionen.

2. Für n, m ∈ ℕ berechne man ∫_{0}^{2π} sin(nx) sin(mx) dx und ∫_{0}^{2π} sin(nx) cos(mx) dx

3. Sei n > 0. Bestimmen Sie alle Maxima der durch f(x) = x^{n}e^{−x} definierte Funktion f : ℝ^{+} → ℝ.

4. Für f ∈ C[a, b] und p ∈ ℕ sei

||f||_{p} = \sqrt[p]{∫_{a}^{b} |f(x)|^{p}dx}

und

||x||_{∞} = max_{x∈[a,b]}{|f(x)|}

Zeige:

||f||_{∞} = lim_{p→∞} ||f||_{p}

5. Seien P_{n} die Legendre-Polynome (siehe Aufgabenblatt 13). Zeige:

∫_{−1}^{1} P_{n}(x)P_{m}(x) dx = \begin{cases}0 & falls n ≠ m \\ \frac{2}{2n+1} & falls n = m \end{cases}

(∗) 6. Sei f : [0, 1] → ℝ eine Regelfunktion, also gleichmässig durch Treppenfunktionen approximierbar. Zeige: Der rechtsseitige Grenzwert lim_{x↘0} f(x) existiert.