Mathematisches Institut der Universität Basel Vorlesung Infinitesimalrechnung I (WS 99/00)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 15

Abgabetermin: 7. April 2000

1. Zeige: Das Legendre-Polynom P_{n} (siehe Aufgabenblatt 13) genügt der Differentialgleichung

(1 − x^{2})P′′_{n}(x) − 2xP′_{n}(x) + n(n + 1)P_{n}(x).

2. Man untersuche die durch f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx gegebene Funktion auf lokale Extrema in Abhängigkeit von den Parametern a, b ∈ ℝ.

3. Man bestimme eine Rekursionsformal für die Integrale I_{m} = ∫ \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}^{m}} dx.

4. Unter Verwendung von Aufgabe 6∗ von Blatt 13 zeige man: Es gibt eine auf ganz ℝ unendlich oft differenzierbare Funktion f mit

f(x) = \begin{cases}0 & falls x ≤ 0 oder x ≥ 3 \\ 1 & falls 1 ≤ x ≤ 2 \end{cases}

5. Sei f(x) = \frac{1}{n!}x^{n}(1−x)^{n}. Zeige: Für alle n ∈ ℕ und k ∈ ℕ gilt f^{(k)}(1), f^{(k)}(0) ∈ ℤ.

6. Sei ∑_{n} z_{n} eine komplexe Reihe, die nicht absolut konvergent ist.

Zeige: Es gibt eine divergente Umordnung, also eine Bijektion ζ : ℕ → ℕ sodass ∑_{n} z_{ζ(n)} divergiert.

7. Sei f : (a, b) → ℝ stetig und c ∈ (a, b), sodass f in allen Punkten x ∈ (a, b) \ {c} differenzierbar ist. Man nehme darüberhinaus an, dass lim_{x→c} f′(x) existiert.

Zeige: Dann ist f in c differenzierbar und es gilt f′(c) = lim_{x→c} f′(x)