Mathematisches Institut der Universität Basel Vorlesung Infinitesimalrechnung I (WS 99/00)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 2

Abgabetermin: 5. November 1999

1. Sei K eine angeordneter Körper.

Zeigen Sie, dass die durch c(x) = x^{3} gegebene Abbildung c : K → K injektiv ist.

2. Sei K eine angeordneter Körper, x, y, λ ∈ K mit 0 < λ < 1 und x < y.

Zeigen Sie:

x < λx + (1 − λ)y < y

3. Zeigen Sie nur unter Verwendung der Körperaxiome: In jedem Körper K gilt (x + y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2} (wobei 2 = 1 + 1 und x^{2} = x · x.)

4. Sei K ein Körper, a ein fest gewähltes Element von K.

Zeigen Sie: Die Abbildung f : x ↦ x + a ist eine bijektive Abbildung von K nach K.

5. Sei K ein angeordneter Körper. Das Maximum max{x, y} ist definiert durch max{x, y} = y falls y > x und max{x, y} = x sonst. Zeigen Sie:

max\{x, y\} = \frac{1}{2} (x + y + |x − y|)

(∗) 6. Seien K und L zwei Körper mit #K = #L = 3.

Zeigen Sie: Es gibt einen Körperisomorphismus ϕ : K → L, d.h. eine bijektive Abbildung ϕ : K → L, sodass ϕ(0) = 0, ϕ(1) = 1, sowie ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) und ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y) für alle x, y ∈ K.