Mathematisches Institut der Universität Basel Vorlesung Infinitesimalrechnung I (WS 99/00)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 3

Abgabetermin: 12. November 1999

1. Zeigen Sie:

∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k + 1)} = 1 − \frac{1}{n + 1} ∀n ∈ ℕ_{0}

2. Zeigen Sie:

∑_{j=0}^{m} \binom{n + j − 1}{j} = \binom{n + m}{n} ∀n ∈ ℕ, m ∈ ℕ_{0}

3. Zeigen Sie:

∑_{k=1}^{n} k! < (n + 1)! ∀n ∈ ℕ_{0}

4. Für welche n ∈ ℕ gilt 2^{n} ≥ n^{3}?

5. Zeigen Sie:

∑_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{2n^{3} + 3n^{2} + n}{6} ∀n ∈ ℕ_{0}

(∗) 6. Zeigen Sie: Für jedes n ∈ ℕ_{0} ist die Zahl 1+2^{(2^{n})} +2^{(2^{n+1})} durch 7 teilbar.