Mathematisches Institut der Universität Basel Vorlesung Infinitesimalrechnung I (WS 99/00)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 4

Abgabetermin: 19. November 1999

1. Berechnen Sie:

(\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{3}{4}}i)^{3} , 2\overline{(\frac{1}{1 + i})}, ∑_{k=1}^{323467} i^{k}

2. Untersuchen Sie folgende Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert:

a_{n} = (1 + \frac{1}{n^{2}} )^{n} , b_{n} = \binom{100n}{n^{2}}, c_{n} = \sqrt[n]{n}, d_{n} = (−1)^{n} \frac{3n + 1}{5n^{2} + 2}.

3. Für welche z ∈ ℂ konvergiert die Folge a_{n} = z^{n} ?

4. Zeige: Für alle x, y ∈ ℝ^{+} = {r ∈ ℝ : r > 0} gilt:

\frac{x + y}{2} ≥ \sqrt{xy} ≥ \frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}

Anmerkung: Diese drei Ausdrücke bezeichnet man als das arithmetische, geometrische und harmonische Mittel von x und y.

5. Sei (a_{n})_{n} eine konvergente Folge. Zeigen Sie, dass die durch

b_{n} = \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} a_{i}

definierte Folge gegen denselben Grenzwert konvergiert.

(∗) 6. Seien a, b reelle Zahlen, und a_{n} die durch a_{1} = a, a_{2} = b und a_{n+2} = (a_{n+1} + a_{n})/2 für n ≥ 1 rekursiv definierte Folge.

Zeige, dass (a_{n})_{n} konvergiert und bestimme den Grenzwert.