Mathematisches Institut der Universität Basel Vorlesung Infinitesimalrechnung I (WS 99/00)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 5

Abgabetermin: wegen “Dies” erst am 30. November 1999

1. Sei (a_{n}) eine Folge sodass die durch b_{n} = a_{2n}, c_{n} = a_{2n+1} und d_{n} = a_{5n} definierten Teilfolgen (b_{n}), (c_{n}) und (d_{n}) alle konvergent sind.

Folgt daraus, dass auch (a_{n}) konvergent ist?

2. Zeige:

Für alle k ∈ ℕ, c > 1 gilt: lim a_{n} = 0 für a_{n} = \frac{n^{k}}{c^{n}}.

(Tip: Zeige zuerst lim \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{1}{c} und dann ∃K > 0, c > q > 1 : ∀n : |a_{n}| ≤

K \frac{1}{q^{n}}.)

3. Untersuche diese Folgen auf Konvergenz, und bestimme ggf. den Grenzwert:

a_{n} = n (\sqrt{1 + \frac{1}{n}} − 1) , b_{n} = \frac{3^{n} + 2}{7^{n}}, c_{n} = \binom{n}{k}\frac{1}{2^{n}} , d_{n} = (\frac{2}{3}n)^{−n} n!

4. Prüfe auf Monotonie (beachte n ∈ ℕ, also n ≠ 0):

(n^{2} + (−1)^{n}) , (n^{4} − 2n^{3}), (n^{1−n}), (n + \sqrt{7 + \frac{1}{n^{2}}} ) , (n\sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}}} )

5. Zeige: Sei z_{n} eine beschränkte Folge in ℂ. Dann besitzt (z_{n}) eine konvergente Teilfolge.

(∗) 6. Zeige: Jede Folge besitzt eine monotone Teilfolge.