Mathematisches Institut der Universität Basel Vorlesung Infinitesimalrechnung I (WS 99/00)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 6

Abgabetermin: 3. Dezember 1999

Achtung: Keine Vorlesung am Freitag, den 26. November (“Dies academicus”) 1. Für n ∈ ℕ sei

a_{n} = \sqrt{n + 1000} − \sqrt{n}, b_{n} = \sqrt{n + \sqrt{n}} − \sqrt{n},

Zeige: Für n < 1 000 000 gilt a_{n} > b_{n}, aber lim a_{n} = 0 und lim b_{n} = \frac{1}{2}.

2. Die Folge (a_{n}) ist rekursiv definiert durch a_{1} = 1 und a_{n+1} = \sqrt{1 + a_{n}} für n ≥ 1. Konvergiert a_{n} und wenn ja, wogegen?

3. Seien a_{1}, …, a_{k} nichtnegative reelle Zahlen.

Zeige:

lim_{p} \sqrt[p]{a_{1}^{p} + … + a_{k}^{p}} = max\{a_{1}, …, a_{k}\}

4. Seien a_{1}, …, a_{k} reelle Zahlen mit a_{i} > −1 für alle i ∈ {1, …, k}. Zeige

∏_{i=1}^{n}(1 + a_{i}) ≥ 1 + ∑_{i=1}^{n} a_{i}.

5. Sei n ∈ ℕ, A eine Menge mit n Elementen und B eine Menge mit n + 2 Elementen. Wieviele surjektive Abbildungen gibt es von B nach A?

(∗) 6 Die Folgen (a_{n}) und (b_{n}) seien gegeben a_{1} = a, b_{1} = b und

a_{n+1} = 2\frac{a_{n}b_{n}}{a_{n} + b_{n}} , b_{n+1} = \frac{1}{2} (a_{n} + b_{n})

für n ≥ 1, wobei a und b feste reelle Zahlen mit 0 < a < b sind. Zeigen Sie, dass (a_{n}) und b_{n} konvergieren und bestimmen Sie die Grenzwerte.