Mathematisches Institut der Universität Basel Vorlesung Infinitesimalrechnung I (WS 99/00)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 7

Abgabetermin: 10. Dezember 1999

1. Man untersuche folgende Reihen auf Konvergenz/Divergenz:

∑_{k=1}^{∞} \frac{k^{3}}{2^{k}} , ∑_{n=1}^{∞} \frac{2^{n}}{n^{3}} , ∑_{n=1}^{∞} \frac{n + 2}{n^{2} − n + 2}

und berechne

∑_{m=2}^{∞} (\frac{1}{4})^{2m+1}

2. Man untersuche folgende Reihen auf Konvergenz/Divergenz:

∑_{k=1}^{∞} \frac{k!}{k^{k}} , ∑_{n=1}^{∞} \frac{\sqrt{n + 1} − \sqrt{n}}{n^{\frac{3}{4}}}

3. Sei (a_{n}) eine Folge in ℝ mit a_{n} ≥ 0 für alle n.

Zeige: Wenn ∑_{n} a_{n} konvergiert, dann konvergiert auch ∑_{n} a_{n}^{2}.

Gilt die Umkehrung?

4. Sei (a_{n}) eine Folge in ℝ mit a_{n} ≥ 0 für alle n, und (b_{n}) eine beschränkte Folge in ℝ.

Zeige: Wenn ∑_{n} a_{n} konvergiert, dann auch ∑_{n} a_{n}b_{n}.

5. Sei (a_{n})_{n} eine Folge, sodass die Reihe ∑_{n} a_{n} konvergiert. Für jede natürliche Zahl n sei r_{n} definiert durch

r_{n} = ∑_{k=n}^{∞} a_{n}.

Zeige: lim_{n→∞} r_{n} = 0.

(∗) 6. Sei p_{n} die durch

p_{n} = ∏_{k=2}^{n} (1 − \frac{1}{k} )

definierte Folge. Untersuche, ob p_{n} konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.