Mathematisches Institut der Universität Basel Vorlesung Infinitesimalrechnung I (WS 99/00)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 8

Abgabetermin: 17. Dezember 1999

1. Sei

a_{n} = b_{n} = \frac{(−1)^{n}}{\sqrt{n + 1}}

und

c_{n} = ∑_{k=0}^{n} a_{n−k}b_{k}

Zeige ∑_{n} a_{n} und ∑_{n} b_{n} konvergieren, nicht aber ∑_{n} c_{n}.

2. Seien f, g : ℝ → ℝ stetige Funktionen, und h : ℝ → ℝ definiert durch h(x) = max{f(x), g(x)}. Zeige: h : ℝ → ℝ ist stetig.

3. Berechne ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{4n^{2}−1}

4. Sei U ⊂ ℂ, f : U → U stetig, a ∈ U und x_{n} eine Folge in U sodass lim x_{n} = a und x_{n+1} = f(x_{n}). Zeige: f(a) = a.

5. Zeige: Für alle n ∈ ℕ gilt:

lim_{x→+∞} \frac{x^{n}}{exp(x)} = 0

(∗) 6. Für x ∈ ℚ sei q(x) = min{n ∈ ℕ : nx ∈ ℤ}. Die Funktion f : ℝ → ℝ ist durch

f(x) = \begin{cases}1/q(x) & falls x ∈ ℚ \\ 0 & sonst \end{cases}

definiert. Zeige, dass f in einem Punkt x ∈ ℝ genau dann stetig ist, wenn x ∉ ℚ.