Mathematisches Institut der Universität Basel Vorlesung Infinitesimalrechnung I (WS 99/00)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 9

Abgabetermin: 7. Januar 2000

1. Sei a_{0} = 1, a_{n+1} = 1 + \frac{1}{a_{n}} Bestimme lim a_{n}.

2. Zeige: Es gibt Folgen a_{n}, b_{n}, A_{n}, B_{n}, α_{n}, β_{n} in ℝ mit lim a_{n} = lim A_{n} =

lim α_{n} = +∞ und lim b_{n} = lim B_{n} = lim β_{n} = 0, sodass • lim(a_{n}b_{n}) = +∞

• lim(A_{n}B_{n}) = 42

• lim(α_{n}β_{n}) = 23

3. Zeige:

(a) Sei z_{n} eine Folge in ℂ mit lim z_{n} = z. Dann gilt lim \overline{z_{n}} = z̄.

(b) Für alle z ∈ ℂ gilt: exp(z̄) = \overline{exp(z)}.

(c) Für alle x ∈ ℝ gilt: |e^{ix}| = 1.

4. Die Funktionen cosh : ℂ → ℂ und sinh : ℂ → ℂ sind definiert durch

cosh(z) = \frac{1}{2} (exp(z) + exp(−z))

und

sinh(z) = \frac{1}{2} (exp(z) − exp(−z)) .

Zeige: Es gilt:

cosh(z + w) = cosh(z) cosh(w) + sinh(z) sinh(w) ∀z, w ∈ ℂ und

(cosh(z))^{2} − (sinh(z))^{2} = 1 ∀z ∈ ℂ.

5. Sei ϕ : ℝ → ℝ definiert durch ϕ(x) = max{n ∈ ℤ : n ≤ x} und g : ℝ → ℝ durch g(x) = |ϕ(x + \frac{1}{2}) − x|.

Welche der Abbildungen ϕ und g sind stetig?

(∗) 6. Sei ϕ : ℝ → ℝ definiert wie in Aufgabe 5. Sei α eine irrationale reelle Zahl. Zeige:

Jede Zahl im abgeschlossenen Intervall [0, 1] ist Häufungspunkt der Folge a_{n} = nα − ϕ(nα)

(∗) 7. Sei K ein endlicher Körper.

Zeige:

(1 + 1) · ( ∑_{x∈K} x) = 0

W1. Zeige: Für x ≥ 0, n ≥ 2 gilt:

(1 + x)^{n} ≥ \frac{n^{2}}{4} x^{2}

W2. Zeige: Für alle k ∈ ℕ ∪ {0}, n ∈ ℕ gilt:

\binom{n}{k}\frac{1}{n^{k}} ≤ \frac{1}{k!}

W3. Zeige: Für alle n ∈ ℕ gilt:

(\frac{n}{3})^{n} ≤ \frac{1}{3}n!

W4. Zeige: Für alle k ∈ ℕ gilt:

∑_{k=0}^{n} k^{3} = \frac{n^{2}(n + 1)^{2}}{4}

W5 Für k, n ∈ ℕ leite man eine Formel her, die angibt, wieviele injektive Abbildungen von einer Menge mit k Elementen in eine Menge mit n Elementen existieren.

Die Aufgaben W1-W5 sind “Weihnachts-” oder “Wiederholungsaufgaben”. Sie werden wie (∗)-Aufgaben gewertet, sind aber einfacher. Dadurch soll es ermöglicht werden, eventuelle Punkterückstande aufzuarbeiten. Mindestpunktzahl für dieses Aufgabenblatt ist also 10 = \frac{2}{3}(3 · 5).