Mathematisches Institut der Universität Basel Vorlesung Infinitesimalrechnung I (WS 99/00)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 1

Abgabetermin: 29. Oktober 1999

1. Welche der folgenden Abbildungen sind injektiv?

\sqrt{·} : ℝ^{+} → ℝ^{+}
cos : ℝ → ℝ
f : ℝ → ℝ mit f(x) = x^{2} + x
f : ℕ → ℕ mit f(x) = x^{2} + x

2. Welche Mengen natürlicher Zahlen werden durch folgende Formeln beschrieben?

A = {n ∈ ℕ : ∃m ∈ ℕ : m^{2} = n}
B = {n ∈ ℕ : ∃m ∈ ℕ : n = 2m + 1}
C = ℕ \ {n ∈ ℕ : ∃m, p ∈ ℕ : (1 < m < n) ∧ (mp = n)}

3. Welche der folgenden Gleichungen gelten für beliebige Mengen A,B,C?

A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ C
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

4. Seien f : A → B und g : B → C Abbildungen. Man nehme an, dass g ∘ f bijektiv ist. Folgt daraus, daß f oder g surjektiv oder injektiv ist?

5. Sei f : X → Y eine Abbildung, A_{j} eine durch j ∈ J indizierte Familie von Teilmengen von X. Zeige:

f (∩_{j∈J}A_{j}) ⊂ ∩_{j∈J}f(A_{j})
f (∪_{j∈J}A_{j}) ⊂ ∪_{j∈J}f(A_{j})

Für welche der beiden Fällen ist eine echte Inklusion möglich?

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PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 2

Abgabetermin: 5. November 1999

1. Sei K eine angeordneter Körper.

Zeigen Sie, dass die durch c(x) = x^{3} gegebene Abbildung c : K → K injektiv ist.

2. Sei K eine angeordneter Körper, x, y, λ ∈ K mit 0 < λ < 1 und x < y.

Zeigen Sie:

x < λx + (1 − λ)y < y

3. Zeigen Sie nur unter Verwendung der Körperaxiome: In jedem Körper K gilt (x + y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2} (wobei 2 = 1 + 1 und x^{2} = x · x.)

4. Sei K ein Körper, a ein fest gewähltes Element von K.

Zeigen Sie: Die Abbildung f : x ↦ x + a ist eine bijektive Abbildung von K nach K.

5. Sei K ein angeordneter Körper. Das Maximum max{x, y} ist definiert durch max{x, y} = y falls y > x und max{x, y} = x sonst. Zeigen Sie:

max\{x, y\} = \frac{1}{2} (x + y + |x − y|)

(∗) 6. Seien K und L zwei Körper mit #K = #L = 3.

Zeigen Sie: Es gibt einen Körperisomorphismus ϕ : K → L, d.h. eine bijektive Abbildung ϕ : K → L, sodass ϕ(0) = 0, ϕ(1) = 1, sowie ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) und ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y) für alle x, y ∈ K.

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PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 3

Abgabetermin: 12. November 1999

1. Zeigen Sie:

∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k + 1)} = 1 − \frac{1}{n + 1} ∀n ∈ ℕ_{0}

2. Zeigen Sie:

∑_{j=0}^{m} \binom{n + j − 1}{j} = \binom{n + m}{n} ∀n ∈ ℕ, m ∈ ℕ_{0}

3. Zeigen Sie:

∑_{k=1}^{n} k! < (n + 1)! ∀n ∈ ℕ_{0}

4. Für welche n ∈ ℕ gilt 2^{n} ≥ n^{3}?

5. Zeigen Sie:

∑_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{2n^{3} + 3n^{2} + n}{6} ∀n ∈ ℕ_{0}

(∗) 6. Zeigen Sie: Für jedes n ∈ ℕ_{0} ist die Zahl 1+2^{(2^{n})} +2^{(2^{n+1})} durch 7 teilbar.

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PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 4

Abgabetermin: 19. November 1999

1. Berechnen Sie:

(\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{3}{4}}i)^{3} , 2\overline{(\frac{1}{1 + i})}, ∑_{k=1}^{323467} i^{k}

2. Untersuchen Sie folgende Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert:

a_{n} = (1 + \frac{1}{n^{2}} )^{n} , b_{n} = \binom{100n}{n^{2}}, c_{n} = \sqrt[n]{n}, d_{n} = (−1)^{n} \frac{3n + 1}{5n^{2} + 2}.

3. Für welche z ∈ ℂ konvergiert die Folge a_{n} = z^{n} ?

4. Zeige: Für alle x, y ∈ ℝ^{+} = {r ∈ ℝ : r > 0} gilt:

\frac{x + y}{2} ≥ \sqrt{xy} ≥ \frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}

Anmerkung: Diese drei Ausdrücke bezeichnet man als das arithmetische, geometrische und harmonische Mittel von x und y.

5. Sei (a_{n})_{n} eine konvergente Folge. Zeigen Sie, dass die durch

b_{n} = \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} a_{i}

definierte Folge gegen denselben Grenzwert konvergiert.

(∗) 6. Seien a, b reelle Zahlen, und a_{n} die durch a_{1} = a, a_{2} = b und a_{n+2} = (a_{n+1} + a_{n})/2 für n ≥ 1 rekursiv definierte Folge.

Zeige, dass (a_{n})_{n} konvergiert und bestimme den Grenzwert.

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PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 5

Abgabetermin: wegen “Dies” erst am 30. November 1999

1. Sei (a_{n}) eine Folge sodass die durch b_{n} = a_{2n}, c_{n} = a_{2n+1} und d_{n} = a_{5n} definierten Teilfolgen (b_{n}), (c_{n}) und (d_{n}) alle konvergent sind.

Folgt daraus, dass auch (a_{n}) konvergent ist?

2. Zeige:

Für alle k ∈ ℕ, c > 1 gilt: lim a_{n} = 0 für a_{n} = \frac{n^{k}}{c^{n}}.

(Tip: Zeige zuerst lim \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{1}{c} und dann ∃K > 0, c > q > 1 : ∀n : |a_{n}| ≤

K \frac{1}{q^{n}}.)

3. Untersuche diese Folgen auf Konvergenz, und bestimme ggf. den Grenzwert:

a_{n} = n (\sqrt{1 + \frac{1}{n}} − 1) , b_{n} = \frac{3^{n} + 2}{7^{n}}, c_{n} = \binom{n}{k}\frac{1}{2^{n}} , d_{n} = (\frac{2}{3}n)^{−n} n!

4. Prüfe auf Monotonie (beachte n ∈ ℕ, also n ≠ 0):

(n^{2} + (−1)^{n}) , (n^{4} − 2n^{3}), (n^{1−n}), (n + \sqrt{7 + \frac{1}{n^{2}}} ) , (n\sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}}} )

5. Zeige: Sei z_{n} eine beschränkte Folge in ℂ. Dann besitzt (z_{n}) eine konvergente Teilfolge.

(∗) 6. Zeige: Jede Folge besitzt eine monotone Teilfolge.

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PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 13

Abgabetermin: 4. Februar 2000

1. Sei f : ℝ → ℝ eine konvexe Funktion. Zeigen Sie: f ist stetig.

2. Eine Funktion f : ℝ → ℝ heißt “gerade” falls f(x) = f(−x)∀x und “ungerade” falls f(−x) = −f(x)∀x.

(a) Zeigen Sie: Die Ableitung einer geraden Funktion ist ungerade.

(b) Ein Polynom P (x) = ∑_{k=0}^{n} a_{k}x^{k} ist genau dann gerade wenn a_{k} = 0 für alle ungeraden k.

3. Die “Legendre-Polynome” sind wie folgt definiert:

P_{n}(x) = \frac{1}{n!(2^{n})} \frac{d^{n}}{dx^{n}} [(x^{2} − 1)^{n}]

Zeige Sie, dass für jedes n ∈ ℕ das Legendre-Polynom P_{n} genau n paarweise verschiedene Nullstellen im Intervall ] − 1, 1[ besitzt.

4. Berechne

lim_{x→0} (\frac{e^{x} − 1 − xe^{\frac{x}{2}}}{x^{3}} ) , lim_{x→0} \frac{1 − cos \frac{x}{2}}{1 − cos x} und lim_{x→∞} \frac{log x}{x^{\sqrt{3}}}

5. Sei n ∈ ℕ und f eine n-mal differenzierbare Funktion auf ℝ. Beweise folgende “Leibnitzregel” für höhere Ableitungen (wobei f^{(k)} die k-te Ableitung von f bezeichnet mit f^{(0)} = f):

(f(x)g(x))^{(n)} = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}f^{(n−k)}(x)g^{(k)}(x)

(∗) 6. Sei f : ℝ → ℝ gegeben durch

f(x) = \begin{cases}e^{− \frac{1}{|x|^{2}}} & falls x > 0 \\ 0 & falls x ≤ 0 \end{cases}

Zeigen Sie, dass f unendlich oft differenzierbar ist.

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PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 7

Abgabetermin: 10. Dezember 1999

1. Man untersuche folgende Reihen auf Konvergenz/Divergenz:

∑_{k=1}^{∞} \frac{k^{3}}{2^{k}} , ∑_{n=1}^{∞} \frac{2^{n}}{n^{3}} , ∑_{n=1}^{∞} \frac{n + 2}{n^{2} − n + 2}

und berechne

∑_{m=2}^{∞} (\frac{1}{4})^{2m+1}

2. Man untersuche folgende Reihen auf Konvergenz/Divergenz:

∑_{k=1}^{∞} \frac{k!}{k^{k}} , ∑_{n=1}^{∞} \frac{\sqrt{n + 1} − \sqrt{n}}{n^{\frac{3}{4}}}

3. Sei (a_{n}) eine Folge in ℝ mit a_{n} ≥ 0 für alle n.

Zeige: Wenn ∑_{n} a_{n} konvergiert, dann konvergiert auch ∑_{n} a_{n}^{2}.

Gilt die Umkehrung?

4. Sei (a_{n}) eine Folge in ℝ mit a_{n} ≥ 0 für alle n, und (b_{n}) eine beschränkte Folge in ℝ.

Zeige: Wenn ∑_{n} a_{n} konvergiert, dann auch ∑_{n} a_{n}b_{n}.

5. Sei (a_{n})_{n} eine Folge, sodass die Reihe ∑_{n} a_{n} konvergiert. Für jede natürliche Zahl n sei r_{n} definiert durch

r_{n} = ∑_{k=n}^{∞} a_{n}.

Zeige: lim_{n→∞} r_{n} = 0.

(∗) 6. Sei p_{n} die durch

p_{n} = ∏_{k=2}^{n} (1 − \frac{1}{k} )

definierte Folge. Untersuche, ob p_{n} konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Vorlesung Infinitesimalrechnung I (WS 99/00)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 6

Abgabetermin: 3. Dezember 1999

Achtung: Keine Vorlesung am Freitag, den 26. November (“Dies academicus”) 1. Für n ∈ ℕ sei

a_{n} = \sqrt{n + 1000} − \sqrt{n}, b_{n} = \sqrt{n + \sqrt{n}} − \sqrt{n},

Zeige: Für n < 1 000 000 gilt a_{n} > b_{n}, aber lim a_{n} = 0 und lim b_{n} = \frac{1}{2}.

2. Die Folge (a_{n}) ist rekursiv definiert durch a_{1} = 1 und a_{n+1} = \sqrt{1 + a_{n}} für n ≥ 1. Konvergiert a_{n} und wenn ja, wogegen?

3. Seien a_{1}, …, a_{k} nichtnegative reelle Zahlen.

Zeige:

lim_{p} \sqrt[p]{a_{1}^{p} + … + a_{k}^{p}} = max\{a_{1}, …, a_{k}\}

4. Seien a_{1}, …, a_{k} reelle Zahlen mit a_{i} > −1 für alle i ∈ {1, …, k}. Zeige

∏_{i=1}^{n}(1 + a_{i}) ≥ 1 + ∑_{i=1}^{n} a_{i}.

5. Sei n ∈ ℕ, A eine Menge mit n Elementen und B eine Menge mit n + 2 Elementen. Wieviele surjektive Abbildungen gibt es von B nach A?

(∗) 6 Die Folgen (a_{n}) und (b_{n}) seien gegeben a_{1} = a, b_{1} = b und

a_{n+1} = 2\frac{a_{n}b_{n}}{a_{n} + b_{n}} , b_{n+1} = \frac{1}{2} (a_{n} + b_{n})

für n ≥ 1, wobei a und b feste reelle Zahlen mit 0 < a < b sind. Zeigen Sie, dass (a_{n}) und b_{n} konvergieren und bestimmen Sie die Grenzwerte.

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 8

Abgabetermin: 17. Dezember 1999

1. Sei

a_{n} = b_{n} = \frac{(−1)^{n}}{\sqrt{n + 1}}

und

c_{n} = ∑_{k=0}^{n} a_{n−k}b_{k}

Zeige ∑_{n} a_{n} und ∑_{n} b_{n} konvergieren, nicht aber ∑_{n} c_{n}.

2. Seien f, g : ℝ → ℝ stetige Funktionen, und h : ℝ → ℝ definiert durch h(x) = max{f(x), g(x)}. Zeige: h : ℝ → ℝ ist stetig.

3. Berechne ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{4n^{2}−1}

4. Sei U ⊂ ℂ, f : U → U stetig, a ∈ U und x_{n} eine Folge in U sodass lim x_{n} = a und x_{n+1} = f(x_{n}). Zeige: f(a) = a.

5. Zeige: Für alle n ∈ ℕ gilt:

lim_{x→+∞} \frac{x^{n}}{exp(x)} = 0

(∗) 6. Für x ∈ ℚ sei q(x) = min{n ∈ ℕ : nx ∈ ℤ}. Die Funktion f : ℝ → ℝ ist durch

f(x) = \begin{cases}1/q(x) & falls x ∈ ℚ \\ 0 & sonst \end{cases}

definiert. Zeige, dass f in einem Punkt x ∈ ℝ genau dann stetig ist, wenn x ∉ ℚ.

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 9

Abgabetermin: 7. Januar 2000

1. Sei a_{0} = 1, a_{n+1} = 1 + \frac{1}{a_{n}} Bestimme lim a_{n}.

2. Zeige: Es gibt Folgen a_{n}, b_{n}, A_{n}, B_{n}, α_{n}, β_{n} in ℝ mit lim a_{n} = lim A_{n} =

lim α_{n} = +∞ und lim b_{n} = lim B_{n} = lim β_{n} = 0, sodass • lim(a_{n}b_{n}) = +∞

• lim(A_{n}B_{n}) = 42

• lim(α_{n}β_{n}) = 23

3. Zeige:

(a) Sei z_{n} eine Folge in ℂ mit lim z_{n} = z. Dann gilt lim \overline{z_{n}} = z̄.

(b) Für alle z ∈ ℂ gilt: exp(z̄) = \overline{exp(z)}.

(c) Für alle x ∈ ℝ gilt: |e^{ix}| = 1.

4. Die Funktionen cosh : ℂ → ℂ und sinh : ℂ → ℂ sind definiert durch

cosh(z) = \frac{1}{2} (exp(z) + exp(−z))

und

sinh(z) = \frac{1}{2} (exp(z) − exp(−z)) .

Zeige: Es gilt:

cosh(z + w) = cosh(z) cosh(w) + sinh(z) sinh(w) ∀z, w ∈ ℂ und

(cosh(z))^{2} − (sinh(z))^{2} = 1 ∀z ∈ ℂ.

5. Sei ϕ : ℝ → ℝ definiert durch ϕ(x) = max{n ∈ ℤ : n ≤ x} und g : ℝ → ℝ durch g(x) = |ϕ(x + \frac{1}{2}) − x|.

Welche der Abbildungen ϕ und g sind stetig?

(∗) 6. Sei ϕ : ℝ → ℝ definiert wie in Aufgabe 5. Sei α eine irrationale reelle Zahl. Zeige:

Jede Zahl im abgeschlossenen Intervall [0, 1] ist Häufungspunkt der Folge a_{n} = nα − ϕ(nα)

(∗) 7. Sei K ein endlicher Körper.

Zeige:

(1 + 1) · ( ∑_{x∈K} x) = 0

W1. Zeige: Für x ≥ 0, n ≥ 2 gilt:

(1 + x)^{n} ≥ \frac{n^{2}}{4} x^{2}

W2. Zeige: Für alle k ∈ ℕ ∪ {0}, n ∈ ℕ gilt:

\binom{n}{k}\frac{1}{n^{k}} ≤ \frac{1}{k!}

W3. Zeige: Für alle n ∈ ℕ gilt:

(\frac{n}{3})^{n} ≤ \frac{1}{3}n!

W4. Zeige: Für alle k ∈ ℕ gilt:

∑_{k=0}^{n} k^{3} = \frac{n^{2}(n + 1)^{2}}{4}

W5 Für k, n ∈ ℕ leite man eine Formel her, die angibt, wieviele injektive Abbildungen von einer Menge mit k Elementen in eine Menge mit n Elementen existieren.

Die Aufgaben W1-W5 sind “Weihnachts-” oder “Wiederholungsaufgaben”. Sie werden wie (∗)-Aufgaben gewertet, sind aber einfacher. Dadurch soll es ermöglicht werden, eventuelle Punkterückstande aufzuarbeiten. Mindestpunktzahl für dieses Aufgabenblatt ist also 10 = \frac{2}{3}(3 · 5).

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 10

Abgabetermin: 14. Januar 2000

1. Sei f : [a, b] → [c, d] eine stetige bijektive Abbildung.

Zeige: f ist streng monoton (steigend oder fallend).

2. Gibt es a) eine bijektive, b) eine stetige bijektive Abbildung von [0, 1] nach [0, 1[ ?

3. Zeige: sinh : ℝ → ℝ ist bijektiv.

4. Jede stetige Funktion f : [a, b] → [a, b] hat einen Fixpunkt (d.h. ∃c ∈ [a, b] : f(c) = c).

5. tan ist definiert durch tan(x) = sin(x)/ cos(x) für cos(x) ≠ 0.

Zeige: Wenn cos(x), cos(y), cos(x + y) ≠ 0, dann

tan(x + y) = \frac{tan x + tan y}{1 − tan x tan y}

(∗) 6. Sei f : ℝ → ℝ eine Funktion, die im Nullpunkt stetig ist. Sei ferner f(0) = 1 und f(x + y) ≤ f(x)f(y) für alle x, y ∈ ℝ. Zeige: f ist auf ganz ℝ stetig.

Vorlesung Infinitesimalrechnung I (WS 99/00)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 11

Abgabetermin: 20. Januar 2000

1. Skizzieren Sie zeichnerisch folgende Teilmengen von ℂ:

A ={z ∈ ℂ : 0 < ℜ(iz) < 2}
B ={z ∈ ℂ : |z − (1 + i)| = 1}
C ={z ∈ ℂ : |z| = ℜ(z) + 1}
D ={z ∈ ℂ : |z − 2| + |z + 2| < 5}
E = \{z ∈ ℂ : |\frac{z − i}{z + i}| = 1\}

2. Leiten Sie Formeln her, die sin(nx) für n = 3, 5 als Polynom in sin(x) ausdrücken.

3. (a) Zeigen Sie: Für alle a, b ∈ ℂ gibts es ein z ∈ ℂ sodass z^{2} +az +b = 0.

(b) Zeigen Sie: cos : ℂ → ℂ ist surjektiv.

4. Bestimme die exakten Werte von sin(t) und cos(t) für t = \frac{π}{3} , \frac{π}{4} , \frac{π}{5} , \frac{π}{6} mit Hilfe der Additionstheoreme.

5. Zeige : lim_{n→∞} n sin \frac{x}{n} = x für alle x ∈ ℂ.

(∗) 6. Sei n eine natürliche Zahl. Betrachte das in den Einheitskreis eingeschriebene gleichmässige n-Eck, d.h. das Polygon, dessen Ecken gerade die n-ten Einheitswurzeln sind. Leite eine Formel für den Umfang U_{n} her und zeige lim_{n→∞} U_{n} = 2π.

Vorlesung Infinitesimalrechnung I (WS 99/00)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 12

Abgabetermin: 27. Januar 2000

1. Zeigen Sie: lim_{x↘0} x^{x} = 1 und lim_{n→+∞} \sqrt[n]{n} = 1.

2. Zeigen Sie: Jedes reelle Polynom ungerader Ordnung hat eine Nullstelle.

3. Weisen Sie nach, daß tan :] − \frac{π}{2} , \frac{π}{2} [→ ℝ bijektiv ist und bestimmen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion arctan.

4. Berechnen Sie die Ableitungen folgender Funktionen: x^{(x^{x})}, sinh, \frac{1}{1+x^{2}} und log(2 + cos x).

5. Sei s > 1, s ∈ ℝ. Zeigen Sie, dass die Reihe ζ(s) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}} konvergiert. Hinweis: Zeige zuerst

∑_{n=1}^{2^{m}} |n^{−s}| ≤ 1 + ∑_{k=0}^{m−1} 2^{k} (2^{k})^{−s}

Bemerkung: Die Funktion ζ(s) heisst Riemannsche Zetafunktion.

(∗) 6. Sei

f(x) = \begin{cases}x(1 + 2x sin(\frac{1}{x})) & falls x ≠ 0 \\ 0 & falls x = 0 \end{cases}

Zeige, dass f in 0 differenzierbar ist mit f′(0) > 0, dass andererseits aber kein ϵ > 0 existiert, für dass f eingeschränkt auf [−ϵ, +ϵ] monoton steigend ist.

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 14

Abgabetermin: 11. Februar 2000

1. Berechne ∫_{0}^{1} e^{x} dx via Approximation durch Treppenfunktionen.

2. Für n, m ∈ ℕ berechne man ∫_{0}^{2π} sin(nx) sin(mx) dx und ∫_{0}^{2π} sin(nx) cos(mx) dx

3. Sei n > 0. Bestimmen Sie alle Maxima der durch f(x) = x^{n}e^{−x} definierte Funktion f : ℝ^{+} → ℝ.

4. Für f ∈ C[a, b] und p ∈ ℕ sei

||f||_{p} = \sqrt[p]{∫_{a}^{b} |f(x)|^{p}dx}

und

||x||_{∞} = max_{x∈[a,b]}{|f(x)|}

Zeige:

||f||_{∞} = lim_{p→∞} ||f||_{p}

5. Seien P_{n} die Legendre-Polynome (siehe Aufgabenblatt 13). Zeige:

∫_{−1}^{1} P_{n}(x)P_{m}(x) dx = \begin{cases}0 & falls n ≠ m \\ \frac{2}{2n+1} & falls n = m \end{cases}

(∗) 6. Sei f : [0, 1] → ℝ eine Regelfunktion, also gleichmässig durch Treppenfunktionen approximierbar. Zeige: Der rechtsseitige Grenzwert lim_{x↘0} f(x) existiert.

Vorlesung Infinitesimalrechnung I (WS 99/00)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 15

Abgabetermin: 7. April 2000

1. Zeige: Das Legendre-Polynom P_{n} (siehe Aufgabenblatt 13) genügt der Differentialgleichung

(1 − x^{2})P′′_{n}(x) − 2xP′_{n}(x) + n(n + 1)P_{n}(x).

2. Man untersuche die durch f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx gegebene Funktion auf lokale Extrema in Abhängigkeit von den Parametern a, b ∈ ℝ.

3. Man bestimme eine Rekursionsformal für die Integrale I_{m} = ∫ \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}^{m}} dx.

4. Unter Verwendung von Aufgabe 6∗ von Blatt 13 zeige man: Es gibt eine auf ganz ℝ unendlich oft differenzierbare Funktion f mit

f(x) = \begin{cases}0 & falls x ≤ 0 oder x ≥ 3 \\ 1 & falls 1 ≤ x ≤ 2 \end{cases}

5. Sei f(x) = \frac{1}{n!}x^{n}(1−x)^{n}. Zeige: Für alle n ∈ ℕ und k ∈ ℕ gilt f^{(k)}(1), f^{(k)}(0) ∈ ℤ.

6. Sei ∑_{n} z_{n} eine komplexe Reihe, die nicht absolut konvergent ist.

Zeige: Es gibt eine divergente Umordnung, also eine Bijektion ζ : ℕ → ℕ sodass ∑_{n} z_{ζ(n)} divergiert.

7. Sei f : (a, b) → ℝ stetig und c ∈ (a, b), sodass f in allen Punkten x ∈ (a, b) \ {c} differenzierbar ist. Man nehme darüberhinaus an, dass lim_{x→c} f′(x) existiert.

Zeige: Dann ist f in c differenzierbar und es gilt f′(c) = lim_{x→c} f′(x)

Vorlesung Infinitesimalrechnung II (SS 2000)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 1

Abgabetermin: 14. April 2000

1. Bestimme die ersten Koeffizienten a_{0}, a_{1}, a_{2} der Potenzreihenentwicklung ∑ a_{k}x^{k} der Funktionen

sin(xe^{x}), e^{cos x}, \frac{x^{2}}{1 + sin x}, log (4 + x^{2}) .

2. Bestimme die Konvergenzradien folgender Potenzreihen

∑_{k=1}^{∞} \frac{k^{k}}{k!} x^{k}, ∑_{n=0}^{∞} (sin n) x^{n}, ∑_{k=0}^{∞} (4k^{3} + 3k^{4}) x^{k}, ∑_{k=0}^{∞} (e^{k} + 1)^{2} x^{k}, ∑_{k=1}^{∞} (∑_{n=1}^{k} \frac{1}{n}) x^{k},

3. Zeige: Die für s > 1 durch ζ(s) = ∑_{n=1}^{∞} n^{−s} definierte Riemannsche Zetafunktion ist differenzierbar.

4. Zeige: Die Funktionenfolge g_{n}(x) = \frac{x}{n^{2}} e^{− \frac{x}{n}} konvergiert auf ℝ^{≥0} = \{x ∈ ℝ : x ≥ 0} gleichmäßig gegen konstant Null, aber

lim_{n→∞} ∫_{0}^{∞} g_{n}(x)dx = 1.

5. Für n ∈ ℕ sei f_{n}(x) = x/ (n(1 + nx^{2})). Zeige: ∑_{n∈ℕ} f_{n}(x) konvergiert für alle x ∈ ℝ und definiert eine auf ganz ℝ stetige Funktion ϕ.

(∗) 6. Zeige: Für die oben definierte Funktion ϕ gilt:

lim_{x→∞} xϕ(x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} .

 Webpage: http://www.math.unibas.ch/~winkel/infini2.html

Vorlesung Infinitesimalrechnung II (SS 2000)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 2

Abgabetermin: 25. April 2000

1. Bestimme alle zweimal differenzierbaren Funktionen f auf ℝ mit f = −f′′.

2. Sei f eine unendlich oft differenzierbare Funktion mit f(1/2n) = 0 und f(1/(2n + 1)) = 1/n für alle n ∈ ℕ. Zeige:

sup_{x∈[−1,1]} sup_{n∈ℕ} |f^{(n)}(x)| = +∞

3. Bestimme die Taylorreihe von arcsin : ] − 1, +1[→ ℝ.

4. Zeige: Seien P, Q Polynome mit Q(0) ≠ 0.

Dann definiert f(x) = P (x)/Q(x) eine reell-analytische Funktion in einer Umgebung von 0.

5. Zeige, dass für n-mal stetig differenzierbare Funktionen f gilt:

lim_{x→0} \frac{f(x)}{x^{n}} = 0 ⟺ ∀k ≤ n : f^{(k)}(0) = 0

(∗) 6. Durch

f(x) = \begin{cases}e^{− \frac{1}{|x|^{2}}} & falls x > 0 \\ 0 & falls x ≤ 0 \end{cases}

wird eine unendlich oft differenzierbare Funktion definiert (Aufgabe I:13.6). Zeige damit:

• Es gibt eine Funktion g ∈ C^{∞}(ℝ) mit g(x) = 0 für x ≤ 0 und g(x) = 1 für x ≥ 1.

• Sei h ∈ C^{∞}(ℝ). Dann gibt es eine Funktion ϕ ∈ C^{∞}(ℝ), sodass ϕ(x) = h(x) für |x| ≤ 1 und ϕ(x) = 0 für |x| ≥ 2.

Webpage: http://www.math.unibas.ch/~winkel/infini2.html

Mathematisches Institut der Universität Basel Vorlesung Infinitesimalrechnung II (SS 2000)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 3

Abgabetermin: 5. Mai

1. Welche der folgenden Teilmengen von ℝ sind abgeschlossen oder offen?

ℤ, ℚ, {z ∈ ℝ : |z| ≥ 2oderz > 4}, {z ∈ ℝ : z > 2}.

2. Zeige: Für beliebige Teilmengen A, B eines metrischen Raums X gilt: ∂(A × B) = (∂A × B̄) ∪ (Ā × ∂B).

3. Untersuche folgende Reihen auf Konvergenz:

∑_{k=2}^{∞} \frac{1}{k log k} , ∑_{k=2}^{∞} \frac{1}{k(log k)^{2}}

4. Zeige: Für x > 0 konvergiert:

∫_{0}^{∞} t^{(x−1)}e^{−t}dt

(Dis so definierte Funktion heisst Gamma-Funktion Γ(x).)

5. Für N ∈ N definiere C_{N} = (∑_{k=1}^{N} \frac{1}{N} ) − log N. Zeige:

(a) 0 < C_{N} < 1 für alle N > 1.

(b) Der Grenzwert lim C_{n} existiert. (∗) 6. Sei C^{1}[0, 1] versehen mit der Norm ||f|| = max_{x∈[0,1]} |f(x)|+max_{x∈[0,1]} |f′(x)|

Dann gilt:

Die Menge der monoton steigenden Funktionen ist abgeschlossen in C^{1}[0, 1].

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PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 4

Abgabetermin: 12. Mai 2000

1. Man bestimme den Rand folgender Mengen:

ℚ, \{z ∈ ℝ : ∃n, m ∈ ℤ : z = \frac{1}{n} + \frac{1}{m}\}, [0, 1[\ℚ.

2. Sei V ein normierter Vektorraum. Die SNCF Metrik auf V wird folgendermassen definiert:

δ(v, w) = \begin{cases}||v − w|| & falls v und w auf einer Gerade durch 0 liegen \\ ||v|| + ||w|| & sonst \end{cases}

Zeige, dass δ tatsächlich eine Metrik ist.

3. Sei Y Teilmenge in einem metrischen Raum. Zeige:

Y ist genau dann offen, wenn ∂Y ∩Y = {} und genau dann abgeschlossen, wenn ∂Y ⊂ Y.

4. Seien K und L kompakte Teilmengen des ℝ^{n}. Zeige:

K + L = {x ∈ ℝ^{n} : ∃y ∈ K, z ∈ L : y + z = x}

ist auch kompakt.

5. Sei x ∈ I = [a, b] ⊂ ℝ.

Zeige: Die durch ϵ_{x} : f ↦ f(x) gegebene Abbildung ϵ_{x} : C^{1}(I) → ℝ ist stetig.

(∗) 6. Seien I, J kompakte Intervalle in ℝ, f : I × J → ℝ eine stetige Abbildung, und F die durch

F (x) = sup_{y∈J} f(x, y)

definierte Abbildung.

Zeige, dass F stetig ist.

Vorlesung Infinitesimalrechnung II (SS 2000)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 5

Abgabetermin: 19. Mai 2000

1. Skizziere die durch γ : t → (t sin t, t cos t, t) gegebene Kurve γ : [−3π, +3π] → ℝ^{3} und berechne ihre Länge.

2. Welche folgender Teilmengen des ℝ^{3} sind kompakt?

ℤ^{3}, {(x, y, z) : x^{2} + y^{2} + z^{4} = 1}, {(x, y, z) : x^{2} + y^{3} + z^{4} = 1},

\{(n, m, p) ∈ ℕ : \frac{1}{n} + \frac{1}{m} + \frac{1}{p} = 1\}, \{(x, y, z) : 0 < |x| + |y| + |z| ≤ 1\}

3. Sei (X, d) ein metrischer Raum.

Zeige: Die durch (x, y) ↦ d(x, y) definierte Abbildung von X × X nach ℝ ist stetig.

4. Sei V der Vektorraum aller konvergenten reellen Folgen, versehen mit der Norm ||(a_{n})_{n}|| = sup_{k} |a_{k}|.

Zeige: Die Abbildung (a_{n}) ↦ lim a_{n} ist eine stetige Abbildung von V nach ℝ.

5. Sei S = {v ∈ ℝ^{n} : ||v|| = 1} die Einheitssphäre in ℝ^{n} (n ∈ ℕ) und f, g : S → ℝ^{>0} = {t ∈ ℝ : t > 0} stetige Abbildungen.

Zeige: Es gibt Konstanten K ≥ C > 0 sodass

Kf(v) ≥ g(v) ≥ Cf(v) ∀v ∈ S

(∗) 6. Sei V der Vektorraum aller Abbildungen ϕ : ℕ → ℝ mit lim_{n→∞} = 0, versehen mit der Norm ||ϕ|| = sup_{n∈ℕ} |ϕ(n)|

Ist V vollständig ?

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Aufgabenblatt 6

Abgabetermin: 26. Mai 2000

1. Berechne die Bogenlänge von der durch γ : t ↦ (t^{2}, t^{3}) definierten Kurve γ : [0, 1] → ℝ^{2}.

2. Sei c ∈ ℝ^{∗} und f(t) = (e^{ct} cos t, e^{ct} sin t). Skizziere f : ℝ → ℝ^{2}, beweise, dass f(ℝ) jeden Kreis mit Radius r > 0 um den Nullpunkt in genau einem Punkt schneidet und bestimme den Schnittwinkel (in Abhängigkeit von r).

3. Reparametrisiere die durch γ(t) = e^{−t}(cos t, sin t, 1) gegebene Kurve γ : [0, 1] → ℝ^{3} auf Bogenlänge.

4. Man finde eine Parameterdarstellung der Kurve

\{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 und (x − \frac{1}{2})^{2} + y^{2} = 1/4\}

5. Sei p eine Primzahl. Für x ∈ ℚ^{∗} mit x = p^{s} \frac{m}{n}, m, s ∈ ℤ, n ∈ ℕ, wobei weder m noch n durch p teilbar ist, definiere |x|_{p} = p^{−s} und |0|_{p} = 0. Zeige, dass d(x, y) = |x − y|_{p} eine Metrik auf ℚ definiert.

(∗) 6. Zeige, dass durch γ(0) = 0 und γ(t) = t sin(1/t) für t ≠ 0 eine stetige, nicht rektifizierbare Kurve γ : [0, 1] → ℝ^{2} definiert wird.

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PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 7

Abgabetermin: 6. Juni 2000

1. Bestimme das begleitende Dreibein für die Kurve t ↦ (sin t, cos t, t).

2. Berechne den Krümmungsradius für alle Punkte auf der Kurve {(x, y) ∈ ℝ : y^{3} = x^{2}}.

3. Zeige: Für jeden differenzierbaren Weg γ : [0, 1] → ℝ^{2} mit γ(0) = (0, 0) und γ(1) = (1, 1) nimmt das Wegintegral des Vektorfelds (x, y) ↦ (2x, 2y) denselben Wert an.

4. Man bestimme das Wegintegral des Vektorfeld (x, y) ↦ (−y, x) über den Kreis mit Radius r > 0 und Mittelpunkt (1, 1).

5. Zeige:

Kompakte metrische Räume sind vollständig.

(∗) 6. Sei n > 2. Gibt es eine stetige surjektive Abbildung von [0, 1] nach Q_{n} = {(x_{1}, …, x_{n}) : 0 ≤ x_{i} ≤ 1 ∀i}?

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Aufgabenblatt 8

Abgabetermin: 9. Juni 2000

1. Zeige, dass das uneigentliche Integral

E(k) = ∫_{0}^{1} \begin{matrix}√ & \overline{1 − k^{2}t^{2}} \\ √ & \overline{1 − t^{2}} \end{matrix} dt

für jedes k ∈ [0, 1] konvergiert.

2. Seien A, B > 0 und E die durch

{(x, y) ∈ ℝ^{2} : Ax^{2} + By^{2} = 1}

beschriebene Ellipse. Drücke die Bogenlänge von E mit Hilfe der Funktionen E(k) aus.

3. Man zeige, dass det : Mat(2, 2, ℝ) → ℝ differenzierbar ist, und bestimme D(det) in \binom{1 0}{0 1}.

4. Sei V = C^{0}([0, 1]) und I : V → ℝ die durch I(f) = ∫_{0}^{1} (f(t))^{2} dt gegebene Abbildung.

Für welche g ∈ V ist I in g differenzierbar?

5. Seien V, W normierte Vektorräume und L(V, W) der Raum der stetigen linearen Abbildungen von V nach W. Zeige, dass

||f|| = sup_{v∈V \\{0\}} \frac{||f(v)||}{||v||}

eine Norm auf L(V, W) definiert, sodass die durch ζ : (v, f) ↦ f(v) gegebene Abbildung ζ : V × L(V, W) → W stetig ist.

(∗) 6. Zeige, dass ζ differenzierbar ist.

Vorlesung Infinitesimalrechnung II (SS 2000)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 9

Abgabetermin: 16. Juni 2000

1. Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt < , > und Norm ||v|| = \sqrt{< v, v >}. Zeige, dass die durch v ↦< v, v > gegebene Abbildung differenzierbar ist, und bestimme das Differential.

2. Sei n ∈ ℕ und K die Menge der kompakten Teilmengen des ℝ^{n}. Zeige, dass durch

δ(K, L) = max {max_{x∈K}{d(x, L)}, max_{x∈L}{d(x, K)}}

mit d(x, K) = min_{y∈K} d(x, y) eine Metrik δ auf K definiert wird.

3. Berechne die Krümmung der “Zykloide” γ : t ↦ 23(t − sin t, 1 − cos t).

4. Können die Vektorfelder (3x^{2}+xy, xy) und (y, 0) auf ℝ^{2} als Gradient einer Funktion dargestellt werden?

5. In welchen Punkten in ℝ^{2} ist die Funktion f(x, y) = y\sqrt{3x^{2} + y^{2}} differenzierbar und in welchen Punkten besitzt sie welche partiellen Ableitungen?

(∗) 6. Sei f ∈ C[0, 1]. Zeige: lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} f(x) sin(nx) = 0.

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Pfingst-Zusatzblatt

Abgabetermin: 20. Juni 2000

Hinweis: Dieses Aufgabenblatt ist nicht obligatorisch. Die hier erzielbaren Punkte gehen nicht in die Berechnung der für das Testat zu erreichenden Mindestpunktzahl ein. Dieses Blatt dient also dem Ausgleich von Punktedefiziten.

P1. Sei [ ] die Gauss-Klammer, d.h. [x] = max{n : n ∈ ℤ, n ≤ x}. Berechne ∫_{0}^{1} \frac{[nx]}{n}dx.

P2. Berechne ∫_{2}^{4} \frac{1}{x^{2}+5x+6}dx.

P3. Leite eine Rekursionsformel her für: I_{n} = ∫ x(log x)^{n}dx.

P4. Für n ∈ ℕ, wie oft ist

f_{n} = \begin{cases}x^{n} sin(\frac{1}{x}) & falls x ≠ 0 \\ 0 & falls x = 0 \end{cases}

in x = 0 differenzierbar?

P5. Gibt es eine Potenzreihe f(x) = ∑_{k} a_{k}x^{k} mit Konvergenzradius R > 0, sodass f(x) = x sin(\frac{1}{x}) für x ≠ 0 ?

P6. Zeige, dass es eine Umkehrfunktion für tan = \frac{sin}{cos} :] − \frac{π}{2} , \frac{π}{2} [→ ℝ gibt und dass

arctan x + arctan y = arctan \frac{x + y}{1 − xy}

für alle x, y mit | arctan x + arctan y| < \frac{π}{2} .

P7. Berechne ∑_{k} k^{2}x^{k}. (Hinweis: Betrachte Taylorreihen geeigneter Funktionen.)

Vorlesung Infinitesimalrechnung II (SS 2000)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 10

Abgabetermin: 23. Juni 2000

1. Sei V das auf ℝ^{3} durch V = (−y/r^{2}, (x/r^{2}) + z, y) mit r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} gegebene Vektorfeld. Berechne rotV und ∫_{γ} V · ds für γ : [0, 2π] ↦ (cos t, sin t, 0).

2. Sei f : ℝ^{2} → ℝ durch

f(x, y) = \begin{cases}xy \frac{x^{2}−y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & für (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & für (x, y) = (0, 0) \end{cases}

definiert. Berechne die Hesse-Matrix im Nullpunkt.

3. Zeige: Für alle 2-mal stetig differenzierbare Funktionen f, g : ℝ^{n} → ℝ gilt:

Δ(fg) = fΔ(g) + 2 < gradf, gradg > +gΔ(f).

4. Sei f : ℝ^{n} × ℝ^{>0} die durch f(x, t) = t^{−n/2}e^{−||x||^{2}/4t} definierte Funktion. Zeige: f ist eine Lösung der “Wärmeleitungsgleichung”

Δf − \frac{∂f}{∂t} = 0

5. Sei c > 0, k ∈ ℝ^{n}, ω = ||k||c und f : ℝ → ℝ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion.

Zeige: Die durch g(x, t) = f(< x, k > −ωt) gegebene Funktion g : ℝ^{n} × ℝ → ℝ ist eine Lösung der Schwingungsgleichung

Δg − \frac{1}{c^{2}} \frac{∂}{∂t} \frac{∂}{∂t}g = 0

(∗) 6. Ist die Menge der positiv semidefiniten reellen Matrizen in M(n × n, ℝ) ≃ ℝ^{n^{2}} abgeschlossen? Offen?

Vorlesung Infinitesimalrechnung II (SS 2000)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 11

Abgabetermin: 30. Juni 2000

1. Bestimme die globalen und lokalen Extrema der durch f(x, y) = (4x^{2} + y^{2}) exp(−x^{2} − 4y^{2}) gegebenen Funktion f : ℝ^{2} → ℝ.

2. Sei f eine stetig differenzierbare Funktion auf ℝ^{n} und g(x) = sin(|f(x)|^{2}). Bestimme grad g.

3. Sei S = {(x, y, z) : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1}, p > 2 und f : S → ℝ gegeben durch f(x, y, z) = x^{p} + y^{p} + z^{p}. Bestimme Minima und Maxima von f auf S.

4. Zeige, dass T = {(x, y, z) : x^{2} + 2y^{2} = 1, 4x = 3z} kompakt ist und bestimme Maxima und Minima von f(x, y, z) = x + y − z auf T.

5. Sei W = {(x, y, z) : x > 0, 0 < y < π, 0 < z < 2π} und f : (x, y, z) ↦ (x cos y, x sin y sin z, x sin y cos z)}. Bestimme das Bild f(W) und zeige, dass f ein Diffeomorphismus von W auf f(W) ist.

(∗) 6. Es sei f : ℝ^{2} → ℝ^{2} gegeben durch f(x, y) = (y − x^{2})(y − 2x^{2}). Zeige: f hat kein lokales Minimum in (0, 0), aber für jedes v = (a, b) ∈ ℝ^{2} \ {(0, 0)} besitzt die durch f_{v} : t ↦ f(at, bt) definierte Funktion f_{v} : ℝ → ℝ ein lokales Minimum in 0.

Vorlesung Infinitesimalrechnung I (SS 2000)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 12

Abgabetermin: 7. Juli 2000

1. Sei S = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x(1 − x)y(1 − y) = 0}. Skizziere S und zeige, dass es keine differenzierbare Funktion f : ℝ^{2} → ℝ gibt mit S = {(x, y) : f(x, y) = 0} und gradf(x, y) ≠ (0, 0) für alle (x, y) ∈ S.

2. Seien f, g : ℝ^{2} → ℝ die durch f(x, y) = x^{2} − y^{3} und g(x, y) = −3y gegebenen Funktionen. Sei S = {f = 0}. Bestimme globale Extrema von g|_{S} und berechne gradf und gradh.

3. Für einen gegebenen Punkt (a, b, c) ∈ ℝ^{3} bestimme man die Ebene E mit (a, b, c) ∈ E, für die der durch E und die Ebenen H_{i} = {x_{i} = 0} begrenzte Tetraeder minimales Volumen hat.

4. Sei q ∈ ℝ, n ∈ ℕ, (x_{1}, …, x_{n}) ∈ (ℝ^{+})^{n} mit q^{n} = Π_{k=1}^{n}x_{k}.

Zeige:

Π_{k=1}^{n}(1 + x_{i}) ≥ (1 + q)^{n}

5. Seien n ∈ ℕ, p, q ∈ ℝ^{n}. Sei S die Menge aller der Weglänge nach parametrisierten Wege von p nach q und L : S → ℝ die Abbildung, die jedem Weg seine Länge zuordnet. Bestimme, wo L auf S Minima annimmt.

(∗) 6. Sei f : (x, y) ↦ (x^{2} − y^{2}, 2xy). Zeige, dass es in einer Umgebung von (1, 0) eine Umkehrabbildung für f gibt, wähle eine solche Umgebung und bestimme explizit die Umkehrabbildung (Tip: Beachte ℝ^{2} ≃ ℂ.)