Mathematisches Institut der Universität Basel Vorlesung Infinitesimalrechnung II (SS 2000)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 1

Abgabetermin: 14. April 2000

1. Bestimme die ersten Koeffizienten a_{0}, a_{1}, a_{2} der Potenzreihenentwicklung ∑ a_{k}x^{k} der Funktionen

sin(xe^{x}), e^{cos x}, \frac{x^{2}}{1 + sin x}, log (4 + x^{2}) .

2. Bestimme die Konvergenzradien folgender Potenzreihen

∑_{k=1}^{∞} \frac{k^{k}}{k!} x^{k}, ∑_{n=0}^{∞} (sin n) x^{n}, ∑_{k=0}^{∞} (4k^{3} + 3k^{4}) x^{k}, ∑_{k=0}^{∞} (e^{k} + 1)^{2} x^{k}, ∑_{k=1}^{∞} (∑_{n=1}^{k} \frac{1}{n}) x^{k},

3. Zeige: Die für s > 1 durch ζ(s) = ∑_{n=1}^{∞} n^{−s} definierte Riemannsche Zetafunktion ist differenzierbar.

4. Zeige: Die Funktionenfolge g_{n}(x) = \frac{x}{n^{2}} e^{− \frac{x}{n}} konvergiert auf ℝ^{≥0} = \{x ∈ ℝ : x ≥ 0} gleichmäßig gegen konstant Null, aber

lim_{n→∞} ∫_{0}^{∞} g_{n}(x)dx = 1.

5. Für n ∈ ℕ sei f_{n}(x) = x/ (n(1 + nx^{2})). Zeige: ∑_{n∈ℕ} f_{n}(x) konvergiert für alle x ∈ ℝ und definiert eine auf ganz ℝ stetige Funktion ϕ.

(∗) 6. Zeige: Für die oben definierte Funktion ϕ gilt:

lim_{x→∞} xϕ(x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} .

 Webpage: http://www.math.unibas.ch/~winkel/infini2.html