Mathematisches Institut der Universität Basel Vorlesung Infinitesimalrechnung II (SS 2000)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 10

Abgabetermin: 23. Juni 2000

1. Sei V das auf ℝ^{3} durch V = (−y/r^{2}, (x/r^{2}) + z, y) mit r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} gegebene Vektorfeld. Berechne rotV und ∫_{γ} V · ds für γ : [0, 2π] ↦ (cos t, sin t, 0).

2. Sei f : ℝ^{2} → ℝ durch

f(x, y) = \begin{cases}xy \frac{x^{2}−y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & für (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & für (x, y) = (0, 0) \end{cases}

definiert. Berechne die Hesse-Matrix im Nullpunkt.

3. Zeige: Für alle 2-mal stetig differenzierbare Funktionen f, g : ℝ^{n} → ℝ gilt:

Δ(fg) = fΔ(g) + 2 < gradf, gradg > +gΔ(f).

4. Sei f : ℝ^{n} × ℝ^{>0} die durch f(x, t) = t^{−n/2}e^{−||x||^{2}/4t} definierte Funktion. Zeige: f ist eine Lösung der “Wärmeleitungsgleichung”

Δf − \frac{∂f}{∂t} = 0

5. Sei c > 0, k ∈ ℝ^{n}, ω = ||k||c und f : ℝ → ℝ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion.

Zeige: Die durch g(x, t) = f(< x, k > −ωt) gegebene Funktion g : ℝ^{n} × ℝ → ℝ ist eine Lösung der Schwingungsgleichung

Δg − \frac{1}{c^{2}} \frac{∂}{∂t} \frac{∂}{∂t}g = 0

(∗) 6. Ist die Menge der positiv semidefiniten reellen Matrizen in M(n × n, ℝ) ≃ ℝ^{n^{2}} abgeschlossen? Offen?