Mathematisches Institut der Universität Basel Vorlesung Infinitesimalrechnung II (SS 2000)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 11

Abgabetermin: 30. Juni 2000

1. Bestimme die globalen und lokalen Extrema der durch f(x, y) = (4x^{2} + y^{2}) exp(−x^{2} − 4y^{2}) gegebenen Funktion f : ℝ^{2} → ℝ.

2. Sei f eine stetig differenzierbare Funktion auf ℝ^{n} und g(x) = sin(|f(x)|^{2}). Bestimme grad g.

3. Sei S = {(x, y, z) : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1}, p > 2 und f : S → ℝ gegeben durch f(x, y, z) = x^{p} + y^{p} + z^{p}. Bestimme Minima und Maxima von f auf S.

4. Zeige, dass T = {(x, y, z) : x^{2} + 2y^{2} = 1, 4x = 3z} kompakt ist und bestimme Maxima und Minima von f(x, y, z) = x + y − z auf T.

5. Sei W = {(x, y, z) : x > 0, 0 < y < π, 0 < z < 2π} und f : (x, y, z) ↦ (x cos y, x sin y sin z, x sin y cos z)}. Bestimme das Bild f(W) und zeige, dass f ein Diffeomorphismus von W auf f(W) ist.

(∗) 6. Es sei f : ℝ^{2} → ℝ^{2} gegeben durch f(x, y) = (y − x^{2})(y − 2x^{2}). Zeige: f hat kein lokales Minimum in (0, 0), aber für jedes v = (a, b) ∈ ℝ^{2} \ {(0, 0)} besitzt die durch f_{v} : t ↦ f(at, bt) definierte Funktion f_{v} : ℝ → ℝ ein lokales Minimum in 0.