Mathematisches Institut der Universität Basel Vorlesung Infinitesimalrechnung I (SS 2000)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 12

Abgabetermin: 7. Juli 2000

1. Sei S = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x(1 − x)y(1 − y) = 0}. Skizziere S und zeige, dass es keine differenzierbare Funktion f : ℝ^{2} → ℝ gibt mit S = {(x, y) : f(x, y) = 0} und gradf(x, y) ≠ (0, 0) für alle (x, y) ∈ S.

2. Seien f, g : ℝ^{2} → ℝ die durch f(x, y) = x^{2} − y^{3} und g(x, y) = −3y gegebenen Funktionen. Sei S = {f = 0}. Bestimme globale Extrema von g|_{S} und berechne gradf und gradh.

3. Für einen gegebenen Punkt (a, b, c) ∈ ℝ^{3} bestimme man die Ebene E mit (a, b, c) ∈ E, für die der durch E und die Ebenen H_{i} = {x_{i} = 0} begrenzte Tetraeder minimales Volumen hat.

4. Sei q ∈ ℝ, n ∈ ℕ, (x_{1}, …, x_{n}) ∈ (ℝ^{+})^{n} mit q^{n} = Π_{k=1}^{n}x_{k}.

Zeige:

Π_{k=1}^{n}(1 + x_{i}) ≥ (1 + q)^{n}

5. Seien n ∈ ℕ, p, q ∈ ℝ^{n}. Sei S die Menge aller der Weglänge nach parametrisierten Wege von p nach q und L : S → ℝ die Abbildung, die jedem Weg seine Länge zuordnet. Bestimme, wo L auf S Minima annimmt.

(∗) 6. Sei f : (x, y) ↦ (x^{2} − y^{2}, 2xy). Zeige, dass es in einer Umgebung von (1, 0) eine Umkehrabbildung für f gibt, wähle eine solche Umgebung und bestimme explizit die Umkehrabbildung (Tip: Beachte ℝ^{2} ≃ ℂ.)