Mathematisches Institut der Universität Basel Vorlesung Infinitesimalrechnung II (SS 2000)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 2

Abgabetermin: 25. April 2000

1. Bestimme alle zweimal differenzierbaren Funktionen f auf ℝ mit f = −f′′.

2. Sei f eine unendlich oft differenzierbare Funktion mit f(1/2n) = 0 und f(1/(2n + 1)) = 1/n für alle n ∈ ℕ. Zeige:

sup_{x∈[−1,1]} sup_{n∈ℕ} |f^{(n)}(x)| = +∞

3. Bestimme die Taylorreihe von arcsin : ] − 1, +1[→ ℝ.

4. Zeige: Seien P, Q Polynome mit Q(0) ≠ 0.

Dann definiert f(x) = P (x)/Q(x) eine reell-analytische Funktion in einer Umgebung von 0.

5. Zeige, dass für n-mal stetig differenzierbare Funktionen f gilt:

lim_{x→0} \frac{f(x)}{x^{n}} = 0 ⟺ ∀k ≤ n : f^{(k)}(0) = 0

(∗) 6. Durch

f(x) = \begin{cases}e^{− \frac{1}{|x|^{2}}} & falls x > 0 \\ 0 & falls x ≤ 0 \end{cases}

wird eine unendlich oft differenzierbare Funktion definiert (Aufgabe I:13.6). Zeige damit:

• Es gibt eine Funktion g ∈ C^{∞}(ℝ) mit g(x) = 0 für x ≤ 0 und g(x) = 1 für x ≥ 1.

• Sei h ∈ C^{∞}(ℝ). Dann gibt es eine Funktion ϕ ∈ C^{∞}(ℝ), sodass ϕ(x) = h(x) für |x| ≤ 1 und ϕ(x) = 0 für |x| ≥ 2.

Webpage: http://www.math.unibas.ch/~winkel/infini2.html