Mathematisches Institut der Universität Basel Vorlesung Infinitesimalrechnung II (SS 2000)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 3

Abgabetermin: 5. Mai

1. Welche der folgenden Teilmengen von ℝ sind abgeschlossen oder offen?

ℤ, ℚ, {z ∈ ℝ : |z| ≥ 2oderz > 4}, {z ∈ ℝ : z > 2}.

2. Zeige: Für beliebige Teilmengen A, B eines metrischen Raums X gilt: ∂(A × B) = (∂A × B̄) ∪ (Ā × ∂B).

3. Untersuche folgende Reihen auf Konvergenz:

∑_{k=2}^{∞} \frac{1}{k log k} , ∑_{k=2}^{∞} \frac{1}{k(log k)^{2}}

4. Zeige: Für x > 0 konvergiert:

∫_{0}^{∞} t^{(x−1)}e^{−t}dt

(Dis so definierte Funktion heisst Gamma-Funktion Γ(x).)

5. Für N ∈ N definiere C_{N} = (∑_{k=1}^{N} \frac{1}{N} ) − log N. Zeige:

(a) 0 < C_{N} < 1 für alle N > 1.

(b) Der Grenzwert lim C_{n} existiert. (∗) 6. Sei C^{1}[0, 1] versehen mit der Norm ||f|| = max_{x∈[0,1]} |f(x)|+max_{x∈[0,1]} |f′(x)|

Dann gilt:

Die Menge der monoton steigenden Funktionen ist abgeschlossen in C^{1}[0, 1].