Mathematisches Institut der Universität Basel Vorlesung Infinitesimalrechnung II (SS 2000)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 4

Abgabetermin: 12. Mai 2000

1. Man bestimme den Rand folgender Mengen:

ℚ, \{z ∈ ℝ : ∃n, m ∈ ℤ : z = \frac{1}{n} + \frac{1}{m}\}, [0, 1[\ℚ.

2. Sei V ein normierter Vektorraum. Die SNCF Metrik auf V wird folgendermassen definiert:

δ(v, w) = \begin{cases}||v − w|| & falls v und w auf einer Gerade durch 0 liegen \\ ||v|| + ||w|| & sonst \end{cases}

Zeige, dass δ tatsächlich eine Metrik ist.

3. Sei Y Teilmenge in einem metrischen Raum. Zeige:

Y ist genau dann offen, wenn ∂Y ∩Y = {} und genau dann abgeschlossen, wenn ∂Y ⊂ Y.

4. Seien K und L kompakte Teilmengen des ℝ^{n}. Zeige:

K + L = {x ∈ ℝ^{n} : ∃y ∈ K, z ∈ L : y + z = x}

ist auch kompakt.

5. Sei x ∈ I = [a, b] ⊂ ℝ.

Zeige: Die durch ϵ_{x} : f ↦ f(x) gegebene Abbildung ϵ_{x} : C^{1}(I) → ℝ ist stetig.

(∗) 6. Seien I, J kompakte Intervalle in ℝ, f : I × J → ℝ eine stetige Abbildung, und F die durch

F (x) = sup_{y∈J} f(x, y)

definierte Abbildung.

Zeige, dass F stetig ist.