Mathematisches Institut der Universität Basel Vorlesung Infinitesimalrechnung II (SS 2000)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 5

Abgabetermin: 19. Mai 2000

1. Skizziere die durch γ : t → (t sin t, t cos t, t) gegebene Kurve γ : [−3π, +3π] → ℝ^{3} und berechne ihre Länge.

2. Welche folgender Teilmengen des ℝ^{3} sind kompakt?

ℤ^{3}, {(x, y, z) : x^{2} + y^{2} + z^{4} = 1}, {(x, y, z) : x^{2} + y^{3} + z^{4} = 1},

\{(n, m, p) ∈ ℕ : \frac{1}{n} + \frac{1}{m} + \frac{1}{p} = 1\}, \{(x, y, z) : 0 < |x| + |y| + |z| ≤ 1\}

3. Sei (X, d) ein metrischer Raum.

Zeige: Die durch (x, y) ↦ d(x, y) definierte Abbildung von X × X nach ℝ ist stetig.

4. Sei V der Vektorraum aller konvergenten reellen Folgen, versehen mit der Norm ||(a_{n})_{n}|| = sup_{k} |a_{k}|.

Zeige: Die Abbildung (a_{n}) ↦ lim a_{n} ist eine stetige Abbildung von V nach ℝ.

5. Sei S = {v ∈ ℝ^{n} : ||v|| = 1} die Einheitssphäre in ℝ^{n} (n ∈ ℕ) und f, g : S → ℝ^{>0} = {t ∈ ℝ : t > 0} stetige Abbildungen.

Zeige: Es gibt Konstanten K ≥ C > 0 sodass

Kf(v) ≥ g(v) ≥ Cf(v) ∀v ∈ S

(∗) 6. Sei V der Vektorraum aller Abbildungen ϕ : ℕ → ℝ mit lim_{n→∞} = 0, versehen mit der Norm ||ϕ|| = sup_{n∈ℕ} |ϕ(n)|

Ist V vollständig ?