Mathematisches Institut der Universität Basel Vorlesung Infinitesimalrechnung II (SS 2000)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 6

Abgabetermin: 26. Mai 2000

1. Berechne die Bogenlänge von der durch γ : t ↦ (t^{2}, t^{3}) definierten Kurve γ : [0, 1] → ℝ^{2}.

2. Sei c ∈ ℝ^{∗} und f(t) = (e^{ct} cos t, e^{ct} sin t). Skizziere f : ℝ → ℝ^{2}, beweise, dass f(ℝ) jeden Kreis mit Radius r > 0 um den Nullpunkt in genau einem Punkt schneidet und bestimme den Schnittwinkel (in Abhängigkeit von r).

3. Reparametrisiere die durch γ(t) = e^{−t}(cos t, sin t, 1) gegebene Kurve γ : [0, 1] → ℝ^{3} auf Bogenlänge.

4. Man finde eine Parameterdarstellung der Kurve

\{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 und (x − \frac{1}{2})^{2} + y^{2} = 1/4\}

5. Sei p eine Primzahl. Für x ∈ ℚ^{∗} mit x = p^{s} \frac{m}{n}, m, s ∈ ℤ, n ∈ ℕ, wobei weder m noch n durch p teilbar ist, definiere |x|_{p} = p^{−s} und |0|_{p} = 0. Zeige, dass d(x, y) = |x − y|_{p} eine Metrik auf ℚ definiert.

(∗) 6. Zeige, dass durch γ(0) = 0 und γ(t) = t sin(1/t) für t ≠ 0 eine stetige, nicht rektifizierbare Kurve γ : [0, 1] → ℝ^{2} definiert wird.