Mathematisches Institut der Universität Basel Vorlesung Infinitesimalrechnung II (SS 2000)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 8

Abgabetermin: 9. Juni 2000

1. Zeige, dass das uneigentliche Integral

E(k) = ∫_{0}^{1} \begin{matrix}√ & \overline{1 − k^{2}t^{2}} \\ √ & \overline{1 − t^{2}} \end{matrix} dt

für jedes k ∈ [0, 1] konvergiert.

2. Seien A, B > 0 und E die durch

{(x, y) ∈ ℝ^{2} : Ax^{2} + By^{2} = 1}

beschriebene Ellipse. Drücke die Bogenlänge von E mit Hilfe der Funktionen E(k) aus.

3. Man zeige, dass det : Mat(2, 2, ℝ) → ℝ differenzierbar ist, und bestimme D(det) in \binom{1 0}{0 1}.

4. Sei V = C^{0}([0, 1]) und I : V → ℝ die durch I(f) = ∫_{0}^{1} (f(t))^{2} dt gegebene Abbildung.

Für welche g ∈ V ist I in g differenzierbar?

5. Seien V, W normierte Vektorräume und L(V, W) der Raum der stetigen linearen Abbildungen von V nach W. Zeige, dass

||f|| = sup_{v∈V \\{0\}} \frac{||f(v)||}{||v||}

eine Norm auf L(V, W) definiert, sodass die durch ζ : (v, f) ↦ f(v) gegebene Abbildung ζ : V × L(V, W) → W stetig ist.

(∗) 6. Zeige, dass ζ differenzierbar ist.