Mathematisches Institut der Universität Basel Vorlesung Infinitesimalrechnung II (SS 2000)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 9

Abgabetermin: 16. Juni 2000

1. Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt < , > und Norm ||v|| = \sqrt{< v, v >}. Zeige, dass die durch v ↦< v, v > gegebene Abbildung differenzierbar ist, und bestimme das Differential.

2. Sei n ∈ ℕ und K die Menge der kompakten Teilmengen des ℝ^{n}. Zeige, dass durch

δ(K, L) = max {max_{x∈K}{d(x, L)}, max_{x∈L}{d(x, K)}}

mit d(x, K) = min_{y∈K} d(x, y) eine Metrik δ auf K definiert wird.

3. Berechne die Krümmung der “Zykloide” γ : t ↦ 23(t − sin t, 1 − cos t).

4. Können die Vektorfelder (3x^{2}+xy, xy) und (y, 0) auf ℝ^{2} als Gradient einer Funktion dargestellt werden?

5. In welchen Punkten in ℝ^{2} ist die Funktion f(x, y) = y\sqrt{3x^{2} + y^{2}} differenzierbar und in welchen Punkten besitzt sie welche partiellen Ableitungen?

(∗) 6. Sei f ∈ C[0, 1]. Zeige: lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} f(x) sin(nx) = 0.