Ruhr-Universität Bochum WS 1996/97 Priv.Doz. Dr. J. Winkelmann

Übungen zur Vorlesung Analysis I

Blatt 1

1. Seien A, B, C Mengen, f : A → B und g : B → C Abbildungen. Die durch (g ∘f)(x) = g(f(x)) definierte Abbildung heißt ,,Komposition” von f und g.

a) Zeige:

Wenn g ∘ f injektiv ist, dann ist auch f injektiv. Wenn g ∘ f surjektiv ist, dann ist auch g surjektiv.

b) Gebe ein Beispiel an, in dem g ∘ f bijektiv ist, aber weder f surjektiv noch g

injektiv.

2. Für 2 Mengen A und B ist das Komplement A\B definiert durch A\B = {x ∈ A : x ∉ B}. Für welche Mengen A, B, C gilt

a) A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C)

b) A\B = A

c) A\B = B

3. Sei A die Menge der Buchstaben {a, b, …, z}, W die Menge der Worte endlicher Länge aus Buchstaben in A. Zeige: W ist abzählbar.

4. Untersuche die folgenden Mengen auf Gleichheit:

a) \{x ∈ ℤ : \frac{x}{3} ∈ ℤ\}

b) {x ∈ ℤ : ∃m ∈ ℤ : 3x = m}

c) {x ∈ ℤ : ∀m ∈ ℤ : 3x = m}

d) \{x ∈ ℤ : ∀m ∈ ℤ : \frac{x}{3}(6m + 1) ∈ ℤ\}

e) \{x ∈ ℤ : ∃m ∈ ℤ : \frac{x}{3}(6m + 1) ∈ ℤ\}

f) \{x ∈ ℤ : ∃m ∈ ℤ : \frac{x}{3} · m ∈ ℤ\}

g) {x ∈ ℤ : ∃m ∈ ℝ : 3x = m} 5.(*) Sei A eine unendliche, abzählbare Menge.

Zeige, daß es eine bijektive Abbildung von ℕ nach A gibt. Abgabe: 28.10.96 in der Vorlesungspause.