Ruhr-Universität Bochum WS 1996/97 Priv.Doz. Dr. J. Winkelmann

Übungen zur Vorlesung Analysis I

Blatt 11

1. Gibt es eine Potenzreihe mit Konvergenzradius r > 0, so daß f(\frac{1}{n}) = \frac{1}{n} = f(−\frac{1}{n}) für fast alle n ∈ ℕ mit \frac{1}{n} < r, wobei f die durch die Potenzreihe definierte Funktion bezeichnet?

2. Bestimme die Konvergenzradien folgender Potenzreihen

∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{n}}{n^{n}}  ,  ∑_{n=0}^{∞} n!x^{n}  ,  ∑_{n=1}^{∞} \frac{2^{n}}{n} x^{3n}  ,  ∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{(n^{2})}}{3^{n}}

3. Seien (V, ∥ ∥) und (W, ∥ ∥′) normierte Vektorräume, V endlich-dimensional und f : V → W eine lineare Abbildung. Zeige:

a) N(v) = ∥v∥ + ∥f(v)∥′ definiert eine Norm auf V.

b) f ist stetig.

4. Sei f stetig auf ]0, 1[.

Zeige f ist genau dann gleichmäßig stetig, wenn f zu einer auf ganz [0, 1] stetigen Funktion festgesetzt werden kann.

5(*) Sei f stetig auf [0, 1] × [0, 1] ⊂ ℝ^{2} mit Werten in ℝ. Für t ∈ [0, 1] sei f_{t} ∈ C[0, 1] gegeben durch f_{t}(x) = f(t, x). Zeige:

lim_{n→∞} f_{\frac{1}{n}} = f_{0} in C[0, 1]

Abgabe: 20.01.1997