Ruhr-Universität Bochum WS 1996/97 Priv.Doz. Dr. J. Winkelmann

Übungen zur Vorlesung Analysis I

Blatt 12

1. Berechne die Ableitungen folgender Funktionen:

a)

(x^{x})^{x}

b)

f(x) = \{ \begin{matrix}x^{2} sin(\frac{1}{x}) & für & x ≠ 0 \\ 0 & für & x = 0 \end{matrix}

c)

\sqrt{1 + \sqrt{1 + … + \sqrt{1 + x}}} = f_{n}(x)

(mit n Wurzelzeichen, n ∈ ℕ)

2. Sei f : ℝ → ℝ differenzierbar, und

lim_{x→+∞} f′(x) = c (c ∈ ℝ)

Zeige:

lim_{x→+∞}[f(x + 1) − f(x)] = c

3. Sei g : ] − 1, 1[→ ℝ eine stetige, in 0 differenzierbare Funktion mit g(0) = g′(0) = 0 und f : ℝ → ℝ eine Funktion mit f(g(x)) = x ∀x ∈] − 1, 1[. Zeige: f ist nicht in 0 differenzierbar.

4. Eine Funktion heißt gerade, falls

f(x) = f(−x) ∀x.

Sei f(x) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}x^{k} eine Potenzreihe mit Konvergenzradius v > 0. Zeige: f ist genau dann gerade, wenn

a_{2k−1} = 0 ∀k ∈ ℕ.

5.* Sei V die Menge aller Funktionen f auf ℝ, für die ein Polynom P ∈ ℝ[x] existiert, so

daß

f(x) = \{ \begin{matrix}P (\frac{1}{x})e^{− \frac{1}{x}} & für & x > 0 \\ 0 & für & x ≤ 0 \end{matrix}

Zeige: Jedes f ∈ V ist auf ganz ℝ stetig und differenzierbar und es gilt f′ ∈ V ∀f ∈ V.

Abgabe: 27.01.1997