Ruhr-Universität Bochum WS 1996/97 Priv.Doz. Dr. J. Winkelmann

Übungen zur Vorlesung Analysis I

Blatt 13

1. Sei c ∈]a, b[⊂ ℝ und f ∈ C[a, b] sei differenzierbar auf ]a, b[\{c}. Der Grenzwert λ = lim_{x→c} f′(x) existiere. Zeige: Dann giltf′(c) = λ.

2. (Harmonische Schwingungen)

Seien λ ∈ ℝ, n ∈ ℕ, a_{1} …, a_{n} ∈ ℝ Zeige: Es gibt α, β ∈ ℝ und γ ∈ ℂ mit

∑_{k=1}^{n} sin(λx + a_{k}) = α sin(λx) + β cos(λx) = Re(γe^{iλx}).

3. Bestimme die folgenden Grenzwerte mit Hilfe der Regel von de l’Hôpital:

lim_{x→0} \frac{x − sin x}{x(1 − cos x)} , lim_{x→ \frac{π}{2}} \frac{sin 2x}{cos^{2} x} , lim_{x→0} (\frac{1}{sin x} − \frac{1}{tan x}) , lim_{x→1} \frac{x^{x} − x}{1 − x + lnx}

4. Sei f ∈ C^{∞}(ℝ), x_{n} ∈ ℝ^{∗} eine Folge mit f(x_{n}) = 0 ∀n ∈ ℕ und lim_{n} x_{n} = 0. Zeige: f^{(k)}(0) = 0 ∀k ∈ ℕ.

5.(*) Die Funktion

f(x) = \{ \begin{matrix}0 & für & x ≤ 0 \\ e^{− \frac{1}{x}} & für & x > 0 \end{matrix}

ist unendlich oft differenzierbar. Zeige

a) es gibt eine Funktion g ∈ C^{∞}(ℝ) mit

g(x) \{ \begin{matrix}= 0 & für & x ≤ 0 \\ ∈ ]0, 1[ & für & 0 < x < 1 \\ = 1 & für & x ≥ 1 \end{matrix}

b) Seien g, h ∈ C^{∞}(ℝ). Dann existiert F ∈ C^{∞}(ℝ) mit

F (x) = g(x) ∀x ≤ 0
F (x) = h(x) ∀x ≥ 1

Hinweis: Notwendig für den Schein sind sowohl das Erzielen der Mindestpunktzahlen als auch die regelmäßige Teilnahme an den Übungsgruppen, insbesondere mindestens 1-mal Vorrechnen.

Abgabe: 03.02.1997