Ruhr-Universität Bochum WS 1996/97 Priv.Doz. Dr. J. Winkelmann

Übungen zur Vorlesung Analysis I

Blatt 2

1.a) Beweise arithmetisch, per vollständiger Induktion

( \begin{matrix}n & + & 1 \\ k & + & 1 \end{matrix} ) = ∑_{m=k}^{n} ( \begin{matrix}m \\ k \end{matrix} ) ∀n, k ∈ ℕ

b) Interpretiere diese Gleichung kombinatorisch.

2. Beweise a) 15 teilt 3n^{5} + 5n^{3} + 7n ∀n ∈ ℕ_{0}

b) 7 teilt 5^{2n+1} + 2^{2n+1} ∀n ∈ ℕ_{0} c)

∑_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} ∀n ∈ ℕ_{0}

3. Sei n ∈ ℕ, A eine Menge mit n Elementen, B eine Menge mit n + 3 Elementen. Bestimme die Anzahl der surjektiven Abbildungen von B nach A.

4. Bestimme folgende Mengen:

a) {x ∈ ℕ_{0} : 2^{x} ≤ x^{!}}

b) {x ∈ ℕ_{0} : x^{2} < 2^{x}}

5. Zeige

∑_{j=0}^{k} ( \begin{matrix}m \\ j \end{matrix} ) ( \begin{matrix}n \\ k − j \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}m + n \\ k \end{matrix} )

für alle m, n, k ∈ ℕ.

Abgabe: bis 4. November 1996