Ruhr-Universität Bochum WS 1996/97 Priv.Doz. Dr. J. Winkelmann

Übungen zur Vorlesung Analysis I

Blatt 3

1. Sei k ein archimedisch angeordneter Körper, x, y ∈ k und x < y. Zeige: Dann gibt es ein z ∈ ℚ mit x < z < y.

2. Seien a, b ∈ ℝ mit 0 < a ≤ b.

Zeige:

a^{2} ≤ (\frac{2ab}{a + b})^{2} ≤ ab ≤ (\frac{a + b}{2})^{2} ≤ b^{2}

3. Sei k ein Körper.

a) Für x ∈ k seien a_{x} und m_{x} die durch a_{x}(y) = x + y, m_{x}(y) = xy definierten Abbildungen von k nach k. Wann ist a_{x} bzw. m_{x} injektiv bzw. surjektiv?

b) Für welche x ∈ k^{∗} = k\\{0\} gilt x = \frac{1}{x}?

4. a) Zeige \sqrt{2} ∉ ℚ b) Zeige \sqrt{2} + \sqrt{3} ∉ ℚ Hinweis: Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen darf benutzt werden.

5. Sei k ein angeordneter Körper, x, y ∈ k.

Sei max(x, y) = \{ \begin{matrix}x & falls & x ≥ y \\ y & falls & x < y \end{matrix}

Zeige:

max(x, y) = \frac{1}{2}(x + y + |x − y|)

(2 Punkte)

Abgabe: 11.11.1996

Nachtrag: Stefan Böcker NA 5/76 Tel. 3262 Sprechstunde: Mo 15-16 Uhr