Ruhr-Universität Bochum WS 1996/97 Priv.Doz. Dr. J. Winkelmann

Übungen zur Vorlesung Analysis I

Blatt 4

1.a) Sei c_{n} eine konvergente Folge komplexer Zahlen, d_{n} = c_{n+1} − c_{n}.

Zeige: lim d_{n} = 0

b) Sei a_{n} eine Folge komplexer Zahlen, b_{n} = Re(a_{n}), c_{n} = Im(a_{n}) Zeige: a_{n} konvergiert genau dann gegen eine komplexe Zahl a, wenn sowohl lim b_{n} = Re(a) als auch lim c_{n} = Im(a).

c) Für welche z ∈ ℂ konvergiert a_{n} = z^{n} und gegen welchen Grenzwert?

2. a) Zeige: f(z) = \frac{z−i}{z+i} definiert eine bijektive Abbildung von H = \{z ∈ ℂ : Im(z) > 0\}

nach Δ = {z ∈ ℂ : |z| < 1}.

b) Für alle a, b ∈ ℂ besitzt die Gleichung x^{2} + ax + b = 0 eine Lösung ( in ℂ).

3. Prüfe, welche der folgenden Folgen konvergieren und gegen welchen Grenzwert.

\begin{aligned}a_{n} & = \sqrt{\frac{n}{n + 2}} \\ b_{n} & = \frac{n + 3}{2n + 1} \\ c_{n} & = (\sqrt{n + 2} − \sqrt{n})\sqrt{n} \\ d_{n} & = (\frac{2}{3}n)^{−n} · n! \end{aligned}  \begin{aligned}e_{n} & = (−1)^{n} \\ f_{n} & = \frac{3^{n} + 2}{5^{n}} \\ g_{n} & = \sqrt[n]{2} \\ h_{n} & = ^{n} \sqrt{n} \end{aligned}

4. Seien a, b > 0. Zwei Folgen a_{n}, b_{n} sind wie folgt definiert

a_{1} = a, b_{1} = b

a_{n+1} = \frac{2a_{n}b_{n}}{a_{n} + b_{n}} und b_{n+1} = \frac{a_{n} + b_{n}}{2} für n ≥ 1

Für welche a, b konvergiert a_{n} und wie hängt der Grenzwert von a und b ab?

5. (∗) Sei p eine Primzahl. Jede rationale Zahl x ∈ ℚ mit x ≠ 0 läßt sich eindeutig in der Form x = p^{n}a/b schreiben mit n, a ∈ ℤ, b ∈ ℕ, a, b teilerfremd, und weder a noch b sind durch p teilbar. Zeige: Die durch x ↦ |x|_{p} = p^{−n} für x ≠ 0 und |0|_{p} = 0 definierte Abbildung | |_{p} :

ℚ → ℝ erfüllt die Axiome (N1-3) für den Absolutbetrag.

Zeige außerdem: Für alle (x, y) ∈ ℝ × ℚ gibt es eine Folge a_{n} in ℚ sodaß lim a_{n} = x und gleichzeitig lim |a_{n} − y|_{p} = 0.

Abgabe: 18.11.1996