Ruhr-Universität Bochum WS 1996/97 Priv.Doz. Dr. J. Winkelmann

Übungen zur Vorlesung Analysis I

Blatt 5

1.a) Seien a_{n}, b_{n} Folgen komplexer Zahlen und a_{n} = b_{n} für fast alle n ∈ ℕ.

a_{n} konvergiere gegen eine komplexe Zahl a. Zeige: Dann konvergiert auch b_{n} gegen a.

b) Sei a_{n} eine Folge komplexer Zahlen, 0 < q < 1 und es gelte |a_{n+1}| ≤ q|a_{n}| für fast alle n. Zeige: lim a_{n} = 0.

c) Eine Folge komplexer Zahlen konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchyfolge ist.

2. Sei x_{n} eine Folge komplexer Zahlen mit lim x_{n} = x. Sei y_{n} = \sqrt[n]{|x_{1} · . . . · x_{n}|}. Bestimme, unter welchen Bedingungen lim y_{n} = |x| gilt.

3. Welche der folgenden Folgen konvergieren und gegen welchen Grenzwert? a) (1 − \frac{1}{n^{2}} )^{n}

b) (1 − \frac{1}{n})^{n}

c) n(\sqrt{1 + \frac{1}{n}} − 1)

d) \binom{n}{k} \frac{1}{2^{n}} für k ∈ ℕ

4.a) Für welche a ∈ ℝ konvergiert die durch a_{1} = a und a_{n+1} = \frac{1}{3}(a_{n}^{2}+2) rekursiv definierte

Folge und wogegen?

b) Sei m ∈ ℕ, a_{1}, … a_{m} ∈ ℝ_{0}^{+}.

Konvergiert

x_{n} = \sqrt[n]{a_{1}^{n} + … + a_{m}^{n}}

und wenn ja, wogegen?

Abgabe: 25.11.1996