Ruhr-Universität Bochum WS 1996/97 Priv.Doz. Dr. J. Winkelmann

Übungen zur Vorlesung Analysis I

Blatt 7

1.a) Seien a_{n}, b_{n} Folgen komplexer Zahlen mit a_{n} = b_{n} für fast alle n ∈ ℕ. Zeige: ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konvergiert genau dann, wenn ∑_{n=1}^{∞} b_{n} konvergiert, aber nicht notwendigerweise gegen denselben Grenzwert.

b) Sei ∑_{n=1}^{∞} a_{n} eine absolut konvergente Reihe, b_{n} eine beschränkte Folge. Zeige: ∑_{n=1}^{∞} a_{n}b_{n} konvergiert.

c) Gebe ein Beispiel für eine konvergente Reihe ∑_{n=1}^{∞} a_{n} und eine konvergente Folge b_{n}, so daß ∑_{n=1}^{∞} a_{n}b_{n} nicht konvergiert. (6 Pkte)

2. Welche der folgenden Reihen konvergieren?

∑_{n=1}^{∞} \frac{n − 1}{n(n + 1)} , ∑_{n=1}^{∞} \frac{(2n)^{!}}{3^{n}(n^{!})^{2}} , ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{n}}{n^{!}3^{n}} .

(3 Pkte)

3. Seien α_{1}, …, α_{n} reelle Zahlen mit −1 < α_{i} < 0 für alle i. Zeige: Dann gilt:

∏_{i=1}^{n}(1 + α_{i}) ≥ 1 + ∑_{i=1}^{n} α_{i}

(3 Pkte)

4.a) Für welche r ∈ ℚ^{+} konvergiert die Reihe

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{r}} ?

b) Für welche z ∈ ℂ konvergiert

∑_{n=0}^{∞} \frac{z^{n}}{1 + |z|^{n}}?

5. (∗) Zeige: ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k^{!}} konvergiert nicht gegen eine rationale Zahl.

Abgabe: 02.12.1996