Ruhr-Universität Bochum WS 1996/97 Priv.Doz. Dr. J. Winkelmann

Übungen zur Vorlesung Analysis I

Blatt 7

1. Bestimme die kleinste Zahl n ∈ ℕ für die

|∑_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} − exp(1)| < 10^{−4}

gilt (mit Beweis)!

2. Sei ∑_{n=1}^{∞} a_{n} eine absolut konvergente Reihe. Zeige: Dann konvergieren auch

∑_{n=1}^{∞} a_{n} (1 + \frac{1}{n})^{n}

und

∑_{n=1}^{∞} a_{n} \sqrt[n]{n}

absolut.

3. Für n ∈ ℕ ∪ {0} sei

a_{n} = b_{n} = \frac{(−1)^{n}}{\sqrt{n + 1}}

und

c_{n} = ∑_{k=0}^{n} a_{n−k}b_{k}.

Die Reihen ∑_{n=0}^{∞} a_{n} und ∑_{n=0}^{∞} b_{n} konvergieren nach dem Leibnitz-Kriterium. Zu zeigen: ∑_{n=0}^{∞} c_{n} konvergiert nicht.

a) Finde den Fehler in der in Forster-Wessely angegebenen Lösung (siehe Rückseite). (2 Pkte)

b) Finde eine korrekte Lösung. (3 Pkte) 4.* Sei a_{n} ∈ ℝ, a_{n} ≥ 0.

Dann gilt: ∑_{n=0}^{∞} a_{n} konvergiert genau dann, wenn die Folge p_{n} = ∏_{k=0}^{n}(1+a_{n}) konvergiert.

Abgabe: 09.12.1996