Ruhr-Universität Bochum WS 1996/97

Priv.Doz. Dr. J. Winkelmann

Übungen zur Vorlesung Analysis I Blatt 8

1. Sei

D_{1} = D_{2} = ℝ, D_{3} = ℚ,
f_{1}(x) = [x] = max{n ∈ ℤ : n ≤ x}
f_{2}(x) = |x − \frac{1}{2} − [x]|
f_{3}(x) = \{ \begin{matrix}1 & falls x < \sqrt{2} \\ 0 & sonst \end{matrix}

Für welche i ∈ {1, 2, 3} ist f_{i} stetig auf D_{i}? (3 × 2 = 6 Pkte)

2. Sei f(x) = x^{2} + 5x + 9.

Zeige mit Hilfe des ϵ-δ-Kriterium durch explizite Angabe von δ = δ(ϵ, x), daß f in allen Punkten x ∈ ℝ stetig ist.

3. Seien D ⊂ ℂ, f, g : D → ℝ stetige Funktionen und h : D → ℝ gegeben durch

h(x) = max(f(x), g(x))

Zeige: h ist stetig auf D.

4. Sei f : ℝ → ℝ wie folgt gegeben

f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{\sqrt{x+3}−2}{x−1} & falls x > 1 \\ 0 & falls x ≤ 1 \end{matrix}

Ist f stetig auf ℝ? 5.(*) Für x ∈ ℝ sei f(x) folgendermaßen definiert: Man nimmt die Dezimalbruchentwick-

lung von x und ersetzt die Ziffer 5 überall durch die Ziffer 4. Für welche x ∈ ℝ ist f stetig?

Abgabe: 16.12.1996