Ruhr-Universität Bochum WS 1996/97 Priv.Doz. Dr. J. Winkelmann

Übungen zur Vorlesung Analysis I

Blatt 9

1. Sei [a, b] ⊂ ℝ, 0 < C < 1 und f : [a, b] → [a, b] eine stetige Abbildung mit

|f(x) − f(y)| < C|x − y| ∀x, y ∈ [a, b]

Zeige: Es gibt genau einen Fixpunkt x_{0} (d.h. genau einen Punkt x_{0} mit f(x_{0}) = x_{0}) und für alle x ∈ [a, b] gilt:

lim f^{n}(x) = x_{0}

(wobei f^{n} = f ∘ f ∘ … ∘ f).

2. Die Funktionen cosh : ℂ → ℂ (cosinus hyperbolicus)

sinh : ℂ → ℂ (sinus hyperbolicus)

sind definiert durch

cosh(x) = \frac{1}{2}(exp(x) + exp(−x))

sinh(x) = \frac{1}{2}(exp(x) − exp(−x))

Zeige:

a) Beide Funktionen sind stetig.

b) (cosh x)^{2} − (sinh x)^{2} = 1 ∀x ∈ ℂ.

c) sinh bildet ℝ bijektiv auf ℝ ab.

3.a) Zeige: lim_{x→0} \frac{e^{x}−1}{x} = 1

b) Sei a > 0 und a_{n}, b_{n} die durch

a_{0} = a
a_{n} = \sqrt{a_{n−1}} für n ∈ ℕ

und

b_{n} = 2^{n}(a_{n} − 1)

definierten Folgen. Zeige: lim_{n→∞} b_{n} = ln(a)

4.* (Ham-Sandwich-Problem) Ein rundes, symmetrisches Sandwich ist mit einem (möglicherweise unsymmetrischen) Stück Schinken belegt. Zeige: Man kann mit einem Schnitt das Sandwich so in zwei Teile zerlegen, daß beide genau die Hälfte des Sandwichs und genau die Hälfte des Schinkens enthalten.

Abgabe: 06.01.1997