Ruhr-Universität Bochum WS 1996/97 Priv.Doz. Dr. J. Winkelmann

Übungen zur Vorlesung Analysis I

Zusatzblatt

Diese Aufgaben sind Zusatzaufgaben, man kann damit Punkte erzielen, um Defizite auszugleichen.

1. Untersuche auf Konvergenz:

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n \sqrt[n]{n}}, ∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{n log n}, ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{\sqrt{n}}{n + 1}

2. Sei x_{0} = 2 und x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_{n} + \frac{3}{x_{n}}) für n ∈ ℕ.

Zeige: |x_{n} − \sqrt{3}| ≤ 2^{−n} 3.a) Zeige

lim_{n→∞} ∏_{k=2}^{n} (1 − \frac{1}{k} ) = 0

b) Zeige

lim_{n→∞} ∏_{k=2}^{n} (1 − \frac{1}{k^{2}} ) = \frac{1}{2}

4.a) Konvergiert die Folge komplexer Zahlen a_{n} = (\frac{(n+i)^{2}}{n^{2}+i} ) und wenn ja, wogegen?

b) Sei Ω_{n} = {z ∈ ℂ : z^{n} = 1}

Zeige:

∑_{z∈Ω_{n}} z = 0 und ∏_{z∈Ω_{n}} z = (−1)^{n+1}

5. Sei M eine Teilmenge von ℝ, und d : ℝ → ℝ gegeben durch d(x) = inf{|x − y| : y ∈ M}. Zeige: d ist stetig.

6. Für welche reellen Polynome P ∈ ℝ[x] ist die durch das Polynom gegebene Abbildung von ℝ nach ℝ surjektiv?

Abgabe: 06.01.1997