Übungen zur Vorlesung über Komplexe Flächen WS 92/93

Aufgabenblatt 1

1) Beweise:

Sei X eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, Y eine abgeschlossene differenzierbare Untermannigfaltigkeit. Dann gilt: Für jede glatte Funktion f ∈ E(Y) gibt es eine glatte Funktion g ∈ E(X), sodaß g|_{Y} = f.

2) Zeige, daß jede zusammenhängende differenzierbare Mannigfaltigkeit wegzusammenhängend ist.

3) Finde explizite Koordinatenkarten für den Torus ℝ^{2}/ℤ^{2}, die Sphäre S_{2} = {v ∈ ℝ^{3} : ∥v∥ = 1} und SL_{2}(ℝ).

4) Zeige, daß beliebige Vektorfelder X, Y, Z auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit stets die Jacobi-Identität

[X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0

erfüllen.

5) Seien x_{i} die Standardkoordinaten auf ℝ^{2}, y_{i} neue Koordinaten gegeben durch y_{1} = x_{1}, y_{2} = x_{2} + x_{1}^{2}. Berechne \frac{∂}{∂y}_{i} und dy_{i} in Abhängigkeit von \frac{∂}{∂x}_{i} resp. dx_{i}.

6) Sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, E(M) die ℝ-Algebra der glatten Funktionen. Zeige, daß jede Derivation der Algebra E(M) durch ein globales Vektorfeld erzeugt wird.

Abgabefrist: 29. Oktober 1992