Übungen zur Vorlesung über Komplexe Flächen WS 92/93

Aufgabenblatt 5

24) Zeige: Der meromorphe Funktionenkörper einer kompakten komplexen Mannigfaltigkeit ist nur dann algebraisch abgeschlossen, wenn es nur konstante meromorphe Funktionen gibt.

25) Sei X eine topologischer Raum, S eine Prägarbe, x ∈ X. Zeige: Die offenen Umgebungen von x bilden eine gerichtete Menge, sodaß der Halm S_{x} gerade der direkte Limes lim_{→} S(U) ist.

26)

i)Sei X ein Hausdorffscher topologischer Raum, A ein Teilmenge. Dann ist die Injektion i : A → X genau dann eine eigentliche Abbildung, wenn A abgeschlossen in X ist.

ii)Sei f : X → Y eine eigentliche stetige Abbildung zwischen Hausdorffschen topologischen Räumen. Dann sind die Bilder abgeschlossener Mengen wiederum abgeschlossen.

iii)Gibt es stetige Abbildungen zwischen Hausdorffschen topologischen Räumen, die nicht eigentlich sind, obwohl alle Fasern kompakt sind?

iv)Zeige: X ist kompakt genau dann, wenn für alle Y die natürliche Projektion X×Y → Y abgeschlossene Mengen stets auf abgeschlossene Mengen abbildet.

27) Zeige, daß für kompakte komplexe Mannigfaltigkeiten X, Y stets a(X × Y) = a(X) + a(Y) gilt.