% $Header: /cvsroot/latex-beamer/latex-beamer/solutions/conference-talks/conference-ornate-20min.de.tex,v 1.7 2004/10/07 20:53:08 tantau Exp $

\documentclass{beamer}

% Diese Datei enthält eine Lösungsvorlage für:

% - Vorträge bei einer (deutschsprachigen) Konferenz/einem Kolloquium.
% - Vortragslänge von etwa 20 Minuten.
% - Aussehen des Vortrags ist verschnörkelt/dekorativ.



% Copyright 2004 by Till Tantau <tantau@users.sourceforge.net>.
%
% In principle, this file can be redistributed and/or modified under
% the terms of the GNU Public License, version 2.
%
% However, this file is supposed to be a template to be modified
% for your own needs. For this reason, if you use this file as a
% template and not specifically distribute it as part of a another
% package/program, I grant the extra permission to freely copy and
% modify this file as you see fit and even to delete this copyright
% notice. 



\mode<presentation>
{
  \usetheme{Copenhagen}
  % oder ...

  %\setbeamercovered{transparent}
  % oder auch nicht
}


\usepackage[german]{babel}
% oder was auch immer

\usepackage[latin1]{inputenc}
% oder was auch immer

\usepackage{graphicx}
%\DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
%\usepackage{graphics}
\usepackage{times}
\usepackage[T1]{fontenc}
% Oder was auch immer. Zu beachten ist, das Font und Encoding passen
% müssen. Falls T1 nicht funktioniert, kann man versuchen, die Zeile
% mit fontenc zu löschen.


\title{Überblick über die Variationsrechnung}

\author{Robert Kohlleppel}

\date{Seminar zur theoretischen Elektrotechnik}


\begin{document}

\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}


\section{Einleitung}



\begin{frame}
  \frametitle{Gliederung}
  \tableofcontents
\end{frame}


\begin{frame}
	\frametitle{Extremwertaufgaben $\leftrightarrow$ Variationsaufgabe}

	
	\begin{tabular}{cc}
 			\includegraphics[width=0.45\textwidth]{extremwertpunkte.png}
			& 
			\includegraphics[width=0.45\textwidth]{funktionale.png}\\
			Funktion mit Extremwerten & Funktional Bogenlänge\\
	\end{tabular}

\end{frame}



\section{Eine einfache Variationsaufgabe}

%\begin{frame}
%	\frametitle{Funktional}
%	\textit{Hier kommen zwei Graphen hin: Einer, der eine Funktion darstellt; ein anderer, der %verschiedene 								Funktionen darstellt, neben deren Verläufen jeweils der Zahlenwert %steht, den ein Funktional ihnen
%			 		zuweist.}
%\end{frame}



\begin{frame}
	\frametitle{Aufgabenstellung}
	\begin{columns}
		\begin{column}{6cm}
			\includegraphics[width=1\textwidth]{funktionale.png}	
		\end{column}
		\begin{column}{5cm}
			\begin{block}{gegeben}
				\begin{itemize}
					\item{das Funktional $J(y(x))=\int_a^b{F(x,y(x),y'(x))}dx$}
					\item{Randwerte\\ $y(a)=\alpha$, $y(b)=\beta$}
				\end{itemize}
			\end{block}
			
			
			\begin{block}{gesucht}
				die Funktion $y^*$, die das Funktional $J$ minimiert
			\end{block}
		\end{column}
	\end{columns}

\end{frame}


\begin{frame}
	\frametitle{Konstruktion einer Vergleichsfunktion}
	\begin{columns}
		\begin{column}{5cm}
				\includegraphics[\textwidth]{loesungsVergleichsfunktion.png}
		\end{column}
		\begin{column}{7cm}
			\begin{itemize}
				\item{Annahme, dass $y^*$ das Funktional minimiert}
				\item{Konstruktion einer Vergleichsfunktion $\tilde{y}=y^* + \epsilon v$ \\
							$\epsilon$ reell, $v(a)=v(b)=0$}
			\end{itemize}
		\end{column}
	\end{columns}

\end{frame}


\begin{frame}
	\frametitle{Funktional $\rightarrow$ einparametrige Funktion}
	\begin{itemize}
		\item{Einsetzen der Vergleichsfunktion $\tilde{y}$ in das Funktional $J$}
		\item{Definition der Funktion $\tilde{J}(\epsilon)=J(\tilde{y})=J(y^* + \epsilon v)$}
	\end{itemize}
	\begin{center}
		\begin{figure}
			\includegraphics[width=0.6\textwidth]{FunktionalAlsFunktion.png}
		\end{figure}
	\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}
	\frametitle{Notwendige Kriterium}
	\begin{itemize}
		\item{Wenn $y^*$ die Lösungsfunktion ist, dann hat $\tilde{J}(\epsilon)$ bei $\epsilon=0$ ein 
					Minimum}
		\item{Aus der Analysis: Notwendiges Kriterium für ein Minium: $\left(\frac{d}{d\epsilon}\tilde{J}(\epsilon)\right)_{\epsilon=0}=\left(\frac{d}{d\epsilon}\int_a^bF(x,y^*+\epsilon v,y'+\epsilon v')dx\right)_{\epsilon=0}=0$}
	\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
	\frametitle{Die Eulersche Differenzialgleichung}
	\begin{itemize}
		\item{Die notwendige Bedingung führt auf die Eulersche Differenzialgleichung.}
		\item{Jede Lösungsfunktion $y^*$ muß die Eulersche DGL erfüllen.}
		\item{Das Erfüllen der Eulerschen DGL ist \alert{kein} hinreichendes Kriterium.}
	\end{itemize}
  \begin{block}{Eulersche Differenzialgleichung}
  $\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y'}=0$
  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}
	\frametitle{Aufgabenstellung mit dem Begriff \textit{Variation} (1)}
	\begin{definition}
		\begin{itemize}
			\item{\textit{Variation} $\delta y(x):=\tilde{y}(x)-y^*(x)=\epsilon v(x)$}
			
			\item{\textit{erste Variation} des Funktionals $J$ \\ $\delta J(y)=\epsilon \left( \frac{d\tilde{J}(\epsilon)}{d\epsilon}\right)_{\epsilon=0}$}
		\end{itemize}
	\end{definition}
	%\textit{Hier eine Grafik wie Betten. S 5}
	\begin{block}{gegeben}
	\begin{itemize}
		\item{das Funktional $J(y(x))=\int_a^b{F(x,y(x),y'(x))}dx$}
		\item{Randwerte $y(a)=\alpha$, $y(b)=\beta$}
	\end{itemize}
	\end{block}	
	\begin{block}{gesucht}
	\begin{itemize}
		\item{die Funktion $y^*$, für die die erste Variation des Funktionals $\delta J(y)$ verschwindet}
	\end{itemize}
	\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}
	\frametitle{Von einer linearen DGL zur Variationsaufgabe}
	\begin{block}{lineare DGL gegeben}
		$y''+a(x)y'+y(x)y=y(x)$, $y(a)=\alpha$, $y(b)=\beta$
	\end{block}		
	\begin{block}{zugehörige Variationsaufgabe}
		$J(y)=\int_a^b(py'^2-qy^2+2ry)dx$, $y(a)=\alpha$, $y(b)=\beta$ \\
		mit $p(x)=e^{\int a(x)dx}$,  $q(x)=p(x)b(x)$,  $r(x)=p(x)c(x)$
	\end{block}
\end{frame}


\begin{frame}
	\frametitle{direkter Lösungsweg: Ritz-Methode}
	Annäherung der Lösungsfunktion durch eine endliche Summe.
	\begin{itemize}
		\item{$y\approx y_n=\sum_{i=0}^n \alpha_i u_i$}
		\item{Es werden linear unabhängige Basisfunktionen $u_i$ ausgewählt.}
		\item{Die Koeffizienten $\alpha_i$ sind unbekannt und müssen bestimmt werden.}
	\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
	\frametitle{Ritz-Methode (2)}
	\begin{figure}
		\includegraphics[width=0.4\textwidth]{basis.png}
	\end{figure}
	\begin{itemize}
		\item{Annäherung z. B. mit den Polynomen $1$, $x$, $x^2$, $x^3$}
		\item{Funktional $\rightarrow$ Funktion der $\alpha_i$: $\widehat{J}(\left(
\begin{array}{c}
\alpha_0\\
\vdots\\
\alpha_n\\
\end{array}\right))$}

		\item{Notwendiges Kriterium $grad \widehat{J}(\vec{\alpha})=0$ $\rightarrow$ Gleichungssystem für  Koeeffizienten $\alpha_i$}
	\end{itemize}
\end{frame}
		
	

\begin{frame}
	\frametitle{Beispiel: Mantelfläche eines Rotationskörpers minimieren}
	Hier ein Graph der Funtkion $y(x)$ + den eines Rotationskörpers, da die Entpunkte des Rotationskörpers
			festgelegt sind, sind beim Rotationsköerper die äußeren Ringe vorgegeben. Farblich makiert.
	\begin{itemize}
		\item{Mantelfläche $M(y)=2\pi \int_{-1}^{1}y(x)\sqrt{1+y'(x)^2}dx$}
		\item{Lösen der Eulerschen DGL führt auf $y(x)=c  \cosh{\frac{x+a}{c}}$}
	\end{itemize}
\end{frame}
		
%\begin{frame}
%	\frametitle{L"osung: Minimalfl"aeche eines Rotationsk"oerpers}
%	\textt{dreidimensionaler Graph der L"oesung und eventuell der die Fl"ache nicht minimierenden L"osung der Eulerschen DGL}
%\end{frame}
		


\section{Ausblicke}

%\begin{frame}
%	\frametitle{natürliche Randbedingungen}
%	\begin{itemize}
%		\item{Funktionswert an einem Endpunkt nicht vorgegeben}
%		\item{Zus"atzlich zur Eulerschen Differenzialgleichung \rightarrow nat"urliche Randbedingung}
%		\item{nat"urliche Randbedingung: $F_{f'}(x,f(x),y'(x))=0$}
%	\end{frame}
%	\textt{Graph einer L"osungsfuntkion, die die nat"urliche Randbedingung erf"ullt}
%\end{frame}

\begin{frame}
	\frametitle{Nebenbedingungen}
	\begin{itemize}
		\item{Nebenbedingung der Form $K(f)=c$, K ist ein Funktional}
		\item{isoperimetrische Probleme: Nebenbedinung $K(f)=\int_a^bG(x,f(x),f'(x))dx=l=const$}
	\end{itemize}
	\textit{Grafik Kettenlinie}
\end{frame}

\begin{frame}
	\frametitle{Extremalkurven im $R^n$}
	\begin{itemize}
		\item{Funktional von mehreren Funktionen abhängig: 
		$J(\vec{f})=J(\left(\begin{array}{c}
		f1(x)\\
		\vdots\\
		f(x)\\
		\end{array}\right))=\int_a^b F(x,\vec{f}(x),\vec{f'}(x))dx$
		}
	\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
	\frametitle{Funktionen mehrerer Variablen}
	\begin{block}{2D}
	\begin{itemize}
		\item{Variationsaufgabe:\\ $\int_{D}F(x,y,w,w_x,w_y)dxdy=Extr!$}
		\item{zugehörige Eulersche Dgl:\\
	$F_w-\frac{\partial}{\partial x}F_{w_x}$}
	\end{itemize}
	\end{block}
	\begin{block}{3D}
	\begin{itemize}
		\item{Variationsaufgabe:\\$\int_{G}F(x,y,z,f,w_x,w_y,w_z)dxdydz=Extr!$}
		\item{zugehörige Eulersche DGL:\\
					$F_w-\frac{\partial}{\partial x}F_{w_x}-\frac{\partial}{\partial 	y}F_{w_y}-\frac{\partial}{\partial z}F_{w_z}=0$}
	\end{itemize}
	\end{block}
		
\end{frame}

\section{Zusammenfassung}

\begin{frame}
	\frametitle{Zusammenfassung}
\end{frame}

\end{document}