% $Header: /cvsroot/latex-beamer/latex-beamer/solutions/conference-talks/conference-ornate-20min.de.tex,v 1.7 2004/10/07 20:53:08 tantau Exp $

\documentclass{beamer}

% Diese Datei enthält eine Lösungsvorlage für:

% - Vorträge bei einer (deutschsprachigen) Konferenz/einem Kolloquium.
% - Vortragslänge von etwa 20 Minuten.
% - Aussehen des Vortrags ist verschnörkelt/dekorativ.



% Copyright 2004 by Till Tantau <tantau@users.sourceforge.net>.
%
% In principle, this file can be redistributed and/or modified under
% the terms of the GNU Public License, version 2.
%
% However, this file is supposed to be a template to be modified
% for your own needs. For this reason, if you use this file as a
% template and not specifically distribute it as part of a another
% package/program, I grant the extra permission to freely copy and
% modify this file as you see fit and even to delete this copyright
% notice. 



\mode<presentation>
{
  \usetheme{Copenhagen}
  % oder ...

  %\setbeamercovered{transparent}
  % oder auch nicht
}


\usepackage[german]{babel}
% oder was auch immer

\usepackage[latin1]{inputenc}
% oder was auch immer

\usepackage{times}
\usepackage[T1]{fontenc}
% Oder was auch immer. Zu beachten ist, das Font und Encoding passen
% müssen. Falls T1 nicht funktioniert, kann man versuchen, die Zeile
% mit fontenc zu löschen.


\title{Überblick über die Variationsrechnung}

\author{Robert Kohlleppel}

\date{Seminar zur theoretischen Elektrotechnik}


\begin{document}

\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}


\section{Einleitung}

\begin{frame}
	\frametitle{Extremwertaufgaben $\leftrightarrow$ Variationsaufgabe}
\end{frame}


\begin{frame}
  \frametitle{Gliederung}
  \tableofcontents
\end{frame}


\section{Eine einfache Variationsaufgabe}

\begin{frame}
	\frametitle{Funktional}
	\textit{Hier kommen zwei Graphen hin: Einer, der eine Funktion darstellt; ein anderer, der verschiedene 								Funktionen darstellt, neben deren Verläufen jeweils der Zahlenwert steht, den ein Funktional ihnen
			 		zuweist.}
\end{frame}


\begin{frame}
	\frametitle{Aufgabenstellung}
	\begin{block}{gegeben}
	das Funktional $J(f(x))=\int_a^b{F(x,f(x),f'(x)}dx$
	\begin{itemize}
		\item{a und b seien bekannt.}
		\item{F sei eine \alert{vorgegebene} Funktion von drei Veränderlichen, die in ihren drei 							Variablen stetig differenzierbar ist.}
		\item{$f\in M=C^2[a,b]$;f sei zwei mal stetig differenzierbar, auf [a,b] definiert}
	\end{itemize}
	\end{block}
	\begin{block}{gesucht}
	Die zwei mal stetig differenzierbare Funktion f, die das Funktional J(f) minimiert.
	\end{block}
\end{frame}


\begin{frame}
	\frametitle{Konstruktion einer Vergleichsfunktion}
	\begin{itemize}
		\item{Annahme, dass $f$ das Funktional minimiert}
		\item{Konstruktion einer Vergleichsfunktion $\tilde{f}=f + \epsilon v$ \\
					Dabei ist $\epsilon$ ein reeller Paramter, $v$ eine beliebige Funktion $\in M$}
	\end{itemize}
	\textit{Hier ein Graph der Lösungsfunktion und ein Graph der Vergleichsfunktion}
\end{frame}

\begin{frame}
	\frametitle{Funktional $\leftarrow$ einparametrige Funktion}
	\begin{itemize}
		\item{Einsetzen der Vergleichsfunktion $\tilde{f}$ in das Funktional $J$}
		\item{Definition der Funktion $\tilde{J}(\epsilon)=J(\tilde{f})=J(f + \epsilon v)$}
	\end{itemize}
	\textit{Hier ein Graph von $\tilde{J}(\epsilon)$, Abszisse $\epsilon$}
	
\end{frame}

\begin{frame}
	\frametitle{Notwendige Kriterium}
	\begin{itemize}
		\item{Wenn $f$ die Lösungsfunktion ist, dann hat $\tilde{J}(\epsilon)$ bei $\epsilon=0$ ein 
					Minimum}
		\item{Aus der Analysis: Notwendiges Kriterium für ein Minium: $\frac{d}{d\epsilon}\tilde{J}(\epsilon)=\frac{d}{d\epsilon}\int_a^bF(x,f(x),f'(x)dx=0$}
	\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
	\frametitle{Die Eulersche Differenzialgleichung}
	\begin{itemize}
		\item{Die notwendige Bedingung führt auf die Eulersche Differenzialgleichung.}
		\item{Jede Lösungsfunktion $f$ muß die Eulersche DGL erfüllen.}
		\item{Das Erfüllen der Eulerschen DGL ist kein hinreichendes Kriterium.}
	\end{itemize}
  \begin{block}{Eulersche Differenzialgleichung}
  $\frac{\partial F}{\partial f}(x,f,f')-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial f'}(x,f,f')=0$
  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}
	\frametitle{Von einer linearen DGL zur Variationsaufgabe}
	\begin{block}{lineare DGL gegeben}
		$f''+a(x)f'+b(x)y=c(x)$, $y(a)=\alpha$, $y(b)=\beta$
	\end{block}		
	\begin{block}{zugehörige Variationsaufgabe}
		$J(f)=\int_a^b(pf'^2-qf^2+2rf)dx$, $f(a)=\alpha$, $f(b)=\beta$ \\
		mit $p(x)=e^{\int a(x)dx}$,  $q(x)=p(x)b(x)$,  $r(x)=p(x)c(x)$
	\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}
	\frametitle{Begriff der Variation}
	\begin{itemize}
		\item{$\hat{f}$ sei die angenommene Lösung der Variationsaufgabe.}
		\item{Vergleichsfunktion $\tilde{f}=\hat{f}+\epsilon \eta$ in der Nachbarschaft von f}
		\item{$\tilde{f}$ ist von $\hat{f}$ um $\epsilon \eta$ variiert.}
		\item{Also wird $\delta f=\tilde{f}-\hat{f}=\epsilon \eta$ als Variation von f definiert.}
	\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
	\frametitle{Eine direkte Lösungsmethode}
\end{frame}

\begin{frame}
	\frametitle{Beispiel: Minimalfläche eines Rotationskörpers}
\end{frame}

\section{Ausblicke}

\begin{frame}
	\frametitle{natürliche Randbedingungen}
\end{frame}

\begin{frame}
	\frametitle{Nebenbedingungen}
\end{frame}

\begin{frame}
	\frametitle{Extremalkurven im $R^n$}
\end{frame}

\begin{frame}
	\frametitle{Funktionen mehrerer Variablen}
\end{frame}

\section{Zusammenfassung}

\begin{frame}
	\frametitle{Zusammenfassung}
\end{frame}

\end{document}



%\begin{itemize}
%  \item
%    Viel \texttt{itemize} benutzen.
%  \item
%    Sehr kurze Sätze oder Satzglieder verwenden.
%  \end{itemize}